信州大学(理系) 2025年 問題5
$数列 \ \{a_n\}\ は初項 \ a\ が \ 0\ でない等差数列であり、また、a_1,\ \ \dfrac{a_2}{3},\ \ \dfrac{a_3}{5} \ \ は公比が \ 1\ でない等比数列である$
$とする。このとき、\{a_n\}\ \ の一般項を \ a\ および \ n\ を用いて表せ。$
$一般に、3\ 数 \ \ a,\ b,\ c\ \ が$
(i)$\ \ 等差数列をなすとき、公差を \ d\ とすると$
$\quad b=a+d,\quad c=b+d \quad だから \quad d=b-a=c-b \qquad 2b=a+c$
(ii)$\ \ 等比数列をなすとき、公比を \ r\ とすると$
$\quad b=ar,\quad c=br \quad だから \quad r=\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b} \qquad b^2=ac$
$本問において$
$\{a_n\}\ は初項 \ a\ の等差数列だから、2a_2=a_1+a_3 $
$a_3=2a_2-a_1 \hspace{5em}(1)$
$a_1,\ \ \dfrac{a_2}{3},\ \ \dfrac{a_3}{5} \ \ は等比数列だから$
$\big(\dfrac{a_2}{3}\big)^2=a_1 \times \dfrac{a_3}{5}$
$5a_2^2=9a_1a_3 $
$(1)を代入して$
$5a_2^2=9a_1(2a_2-a_1)$
$9a_1^2-18a_1a_2+5a_2^2=0$
$(3a_1-a_2)(3a_1-5a_2)=0$
$a_2=3a_1,\quad \dfrac{3}{5}a_1$
(i)$\ \ a_2=3a_1 \quad のとき$
$\quad \dfrac{a_2}{3}=\dfrac{3a_1}{3}=a_1 \quad だから公比 \ 1\ となって不適$
(ii)$\ \ a_2=\dfrac{3}{5}a_1 \quad のとき$
$\quad 公差=a_2-a_1=\dfrac{3}{5}a_1-a_1=-\dfrac{2}{5}a_1=-\dfrac{2}{5}a \quad だから$
$\quad a_n=a+(n-1) \times \big(-\dfrac{2}{5}a\big)=-\dfrac{2}{5}an+\dfrac{7}{5}a$
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