信州大学(理系) 2025年 問題2
$3\ つのアルファベット \ a,\ b,\ c\ と、\ 4\ つの数字 \ 1,\ 2,\ 3,\ 4\ の \ 7\ つを横一列に並べるとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ アルファベットと数字を交互に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。$
$(2)\ \ a \ を \ b,\ c\ のいずれよりも右に、1,\ 3\ をそれぞれ \ 2,\ 4\ のいずれよりも右に並べるとき、その並べ方は$
$\quad 何通りあるか。$
$(3)\ \ 1\ を \ a\ よりも右に、2\ を \ b\ よりも右に、3\ を \ c\ よりも右に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。$
(1)
$アルファベット \ 3\ つと数字 \ 4\ つを交互に並べるためには、1\ 番目は数字でなければならない。$
$1,\ 3,\ 5,\ 7\ 番目に入る \ 4\ つの数字の並べ方は \quad 4!\ \ 通り$
$この並べ方それぞれに対し、2,\ 4,\ 6\ 番目に入る \ 3\ つのアルファベットの並べ方は \quad 3! \ \ 通り$
$よって、アルファベットと数字を交互に並べる並べ方は$
$\quad 4! \times 3!=4 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2=144 \ \ 通り$
(2)
$a,\ b,\ c\ を同じもの、1,\ 2,\ 3,\ 4\ を同じものとして並べる並べ方は$
$\dfrac{7!}{3!4!}=\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2}=35 \ \ 通り$
$これら \ 1\ つ \ 1\ つの並べ方に対し$
$a \ が \ b,\ c\ のいずれよりも右にくる並べ方は \ \ (b,\ c,\ a),\ \ (c,\ b,\ a)\ \ の \ 2\ 通り$
$1,\ 3\ が \ 2,\ 4\ のいずれよりも右にくる並べ方は$
$\quad (2,\ 4,\ 1,\ 3),\ \ (2,\ 4,\ 3,\ 1),\ \ (4,\ 2,\ 1,\ 3),\ \ (4,\ 2,\ 3,\ 1)\ \ の \ 4\ 通り$
$したがって、a \ を \ b,\ c\ のいずれよりも右に、1,\ 3\ をそれぞれ \ 2,\ 4\ のいずれよりも右に並べる並べ方は$
$\quad 35 \times 2 \times 4=280 通り$
(3)
$(1,\ a),\ \ (2,\ b),\ \ (3,\ c)\ \ をペアにし、同じものと考えたときの並べ方は$
$\quad \dfrac{7!}{2!2!2!}=630\ \ 通り$
$これら \ 1\ つ \ 1\ つの並べ方に対し、 1\ を \ a\ よりも右に、2\ を \ b\ よりも右に、3\ を \ c\ よりも右に並べる並べ方が$
$１\ つづつ決まるから、630\ \ 通り$
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