信州大学(理系) 2025年　問題1


$a,\ b,\ c,\ p,\ q,\ r\ を実数とするとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a \leqq b , \ \ p \leqq q \ \ のとき、ap+bq \geqq aq+bp \ \ であることを示せ。$
$(2)\ \ a \leqq b \leqq c ,\ \ p \leqq q \leqq r \ \ のとき、(a+b+c)(p+q+r) \leqq 3(ap+bq+cr)\ \ であることを示せ。$


(1)


$a \leqq b , \ \ p \leqq q \quad より \quad b-a \geqq 0,\quad q-p \geqq 0$

$このとき$

\begin{eqnarray*} & &(ap+bq)-(aq+bp)\\ \\ &=&b(q-p)-a(q-p)\\ \\ &=&(b-a)(q-p)\\ \\ &\geqq &0 \end{eqnarray*} $よって \quad ap+bq \geqq aq+bp $


(2)


$(1) をつかって$

(i)$\ \ a \leqq b , \ \ p \leqq q \quad より \quad ap+bq \geqq aq+bp $

(ii)$\ \ b \leqq c , \ \ q \leqq r \quad より \quad bq+cr \geqq br+cq $

(iii)$\ \ a \leqq c , \ \ p \leqq r \quad より \quad ap+cr \geqq ar+cp $

$このとき$

\begin{eqnarray*} & &3(ap+bq+cr)-(a+b+c)(p+q+r)\\ \\ &=&2ap-aq-ar-bp+2bq-br-cp-cq+2cr\\ \\ &=&\{(ap+bq)-(aq+bp)\} +\{(bq+cr)-(br+cq)\}+\{(ap+cr)-(ar+cp)\}\\ \\ & \geqq & 0 \end{eqnarray*}
$よって \quad (a+b+c)(p+q+r) \leqq 3(ap+bq+cr)$


$(研究)$

$(3)は \ 3\ 文字の不等式ですが、2\ 文字の場合$

$a \leqq b ,\ \ p \leqq q \ \ のとき、(a+b)(p+q) \leqq 2(ap+bq) \quad が成りたちます。$

$これらを「チェビシェフの不等式」といいます。$

$一般に、n\ 文字の場合も成りたちますが、詳しくは($チェビシェフの不等式$)をご覧ください。$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る