信州大学(理系) 2024年　問題6


$e\ を自然対数の底とするとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ すべての実数 \ x\ に対して、不等式 \ \ \cfrac{e^x+e^{-x}}{2} \geqq 1+\cfrac{1}{2}x^2 \ \ が成り立つことを示せ。$
\[(2)\ \ 等式 \ \ \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{-\cos 2t}dt =\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2t}dt \ \ が成り立つことを示せ。\] \[(3)\ \ 不等式 \ \ \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2t}dt \geqq \cfrac{5}{8}\pi \ \ が成り立つことを示せ。\]


(1)

　
$f(x)=e^x + e^{-x} - 2\big(1+\cfrac{1}{2}x^2 \big) \quad とおくと$

$f(x)\ は偶関数だから \ \ x \geqq 0 \ \ で考えれば十分である。$

$f'(x)=e^x-e^{-x}-2x$

$f''(x)=e^x+e^{-x}-2=\big(e^{\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}-e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}\big)^2 \geqq 0$

$ただし等号は \ \ e^{\scriptsize{\dfrac{x}{2}}}=e^{-\scriptsize{\dfrac{x}{2}}} \qquad e^x=1 \qquad x=0 \ \ のとき$

$したがって \ \ f'(x)\ は \ \ x \geqq 0 \ \ で単調増加だから \ \ f(x) \geqq f(0)$

$f(0)=1+1-2=0 \quad だから \quad f(x) \geqq 0$

$f(x)\ は偶関数だから \ \ x < 0\ \ でも成りたつ。$

$よって、すべての実数 \ x\ に対して、f(x)=e^x + e^{-x} - 2\big(1+\cfrac{1}{2}x^2 \big) \geqq 0$

$すなわち \quad \cfrac{e^x+e^{-x}}{2} \geqq 1+\cfrac{1}{2}x^2 \ \ が成り立つ。$

$なお、グラフの位置関係は右図のとおりである。$


(2)


\[I=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{-\cos 2t}dt \quad において\] \[ t=\cfrac{\pi}{2}-u \quad とおくと \quad dt=-du \quad \begin{array}{c|c} t & 0\ \ \rightarrow \dfrac{\pi}{2}\\ \hline u & \ \dfrac{\pi}{2} \rightarrow 0 \\ \end{array} \]
\[I=\int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^0 e^{-\cos (\pi-2u)}(-du)=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2u}du=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2t}dt\]

(3)


$(1) より すべての実数 \ x\ に対して、 \cfrac{e^x+e^{-x}}{2} \geqq 1+\cfrac{1}{2}x^2 \ \ だから$

$x=\cos 2t \quad とおくと \quad \cfrac{e^{\cos 2t}+e^{-\cos 2t}}{2} \geqq 1+\cfrac{1}{2}\cos ^2 2t$

$両辺の定積分をとって$

\[\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \cfrac{e^{\cos 2t}+e^{-\cos 2t}}{2}dt \geqq \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1+\cfrac{1}{2}\cos ^2 2t)dt \] \[(2)より \quad \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{-\cos 2t}dt =\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2t}dt \quad だから\] \[左辺=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2t}dt\] \begin{eqnarray*} 右辺 &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1+\cfrac{1}{2}\cos ^2 2t)dt \\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \big(1+\cfrac{1}{4}(1+\cos 4t)\big)dt \\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \big(\cfrac{5}{4}+\cfrac{1}{4}\cos 4t \big)dt \\ \\ &=&\big[\cfrac{5}{4}t+\cfrac{1}{16}\sin 4t \big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \\ \\ &=&\cfrac{5}{8}\pi \end{eqnarray*} $したがって$

\[\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^{\cos 2t}dt　\geqq \cfrac{5}{8}\pi\]

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