信州大学(理系) 2023年 問題5
\[数列 \ \{a_n\}\ は、すべての項が正であり、\sum _{k=1}^n a_k^2=2n^2 + n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ を満たすとする。\] \[S_n=\sum _{k=1}^n a_k \ \ とおくとき、\lim _{n \rightarrow \infty} \cfrac{S_n}{n\sqrt{n}} \ \ を求めよ。\]
\[\sum _{k=1}^n a_k^2=2n^2 + n \quad で \quad n \rightarrow n+1 \quad とおくと \quad \sum _{k=1}^{n+1} a_k^2=2(n+1)^2 + (n+1) \] \[\sum _{k=1}^{n+1} a_k^2 - \sum _{k=1}^n a_k^2=a_{n+1}^2 \quad だから\] $a_{n+1}^2=2(n+1)^2 + (n+1) -(2n^2+n)=4n+3$
$n \rightarrow n-1 \quad とおいて \quad a_n^2=4(n-1)+3=4n - 1$
$a_n > 0 \ \ だから \quad a_n=\sqrt{4n-1}$
$ただし \quad a_1^2=2 \times 1^1 + 1=3 \quad より \quad a_1=\sqrt{3}$
$これは \quad \sqrt{4 \times 1-1} \quad に一致するから すべての \ n\ について \quad a_n=\sqrt{4n-1}$
$次に、全ての自然数 \ k\ について \quad \sqrt{4(k-1)} < \sqrt{4k-1} < \sqrt{4k} \quad だから$
\[2\sum_{k=1}^n \sqrt{k-1} < \sum_{k=1}^n \sqrt{4k-1} < 2\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \]
\[ここで、\sum_{k=1}^n \sqrt{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{k} \quad だから\]
\[2\sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{k} < S_n < 2\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \]
\[\therefore \ \ \cfrac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\cfrac{k}{n}} < \cfrac{S_n}{n\sqrt{n}} < \cfrac{2}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{\cfrac{k}{n}} \]
$n \longrightarrow \infty \quad とすると 区分求積法により$
\[左辺=右辺=2\int_0^1\sqrt{x}dx=2\times \big[\cfrac{2}{3}x^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\big]_0^1=\cfrac{4}{3}\]
$したがって はさみうちの原理より$
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \cfrac{S_n}{n\sqrt{n}}=\cfrac{4}{3}\]
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