信州大学(理系) 2023年 問題4
$3\ つの自然数 \ \ p,\ \ p+10,\ \ p+20 \ がすべて素数となるような \ p\ がただ \ 1\ つ存在することを示せ。$
$(1)\ \ p=2 \ \ のとき$
$\quad p+10=12 \quad は素数でない。$
$(2)\ \ p=3 \ \ のとき$
$\quad p+10=13,\quad p+20=23 \quad はともに素数$
$(3)\ \ p=4 \ \ は偶数だから素数でない$
$(4)\ \ p \geqq 5 \ \ のとき$
$\quad p\ を \ 3\ で割った余り \ \ (3 を法とした数)\ \ で考える。m\ を自然数として$
(i)$\ \ p=3m \ \ (m \ne 1) \ は素数でない$
(ii)$\ \ p=3m+1 \ \ (m \ne 1)\ \ のとき$
$\qquad p+20=(3m+1)+20=3(m+7) \quad は素数でない$
(iii)$\ \ p=3m+2 \ \ のとき$
$\qquad p+10=(3m+2)+10=3(m+4) \quad は素数でない$
$したがって \quad p \geqq 5 \ \ の素数はない$
$よって \quad p,\ \ p+10,\ \ p+20 \ \ がすべて素数となるような \ p\ は \ p=3\ がただ \ 1\ つ存在する。$
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