信州大学(理系) 2023年　問題3


$方程式 \ \ \log _a(x-3) =\log _a(x+2)+ \log _a(x-1) +1 \ \ が解をもつとき、定数 \ a\ のとり得る値の範囲を求めよ。$


$底の条件より \quad a > 0 ,\quad a \ne 1$

$真数の条件 \quad x-3 > 0,\quad x+2 > 0,\quad x-1 > 0 \quad より \quad x > 3$

$\log _a(x-3) =\log _a(x+2)+ \log _a(x-1) +1 \quad は$

$\log _a(x-3) =\log _a(x+2)+ \log _a(x-1) + \log _a a $

$\log _a(x-3) =\log _a a(x+2)(x-1) $

$(x-3) =a(x+2)(x-1) $

$ax^2+(a-1)x- 2a+3=0$

　

$a > 0 \ \ でこの \ 2\ 次方程式が \ \ x > 3\ \ の解をもつ条件を求めればよい。$

$f(x)=ax^2+(a-1)x- 2a+3 \quad とおく$

$(1)\ \ x > 3\ \ の解を \ 1\ つもつとき$

$f(3) < 0 \quad だから$

$9a+3(a-1)-2a+3<0 \qquad a < 0 $

$これは \ \ a > 0 \ \ に反する。$


$(2)\ \ x > 3\ \ の解を \ 2\ つもつとき$

　

(i)$\ \ 判別式について$

$\quad D=(a-1)^2-4a(-2a+3) \geqq 0$

$\quad 9a^2-14a+1 \geqq 0$

$\quad 9a^2-14a+1 =0 \ \ の解は \quad a=\cfrac{7 \pm2\sqrt{10}}{9} \quad だから$

$\quad a \leqq \cfrac{7 - 2\sqrt{10}}{9},\quad a \geqq \cfrac{7 + 2\sqrt{10}}{9}$

(ii)$\ \ 軸について$

$\quad -\cfrac{a-1}{2a} > 3$

$\quad a > 0\ \ だから 両辺に \ 2a\ をかけて \quad -a+1 > 6a $

$\quad a < \cfrac{1}{7}$

(iii)$\ \ 端点の値について$

$\quad f(3) > 0 \ \ より \quad 9a+3(a-1)-2a+3 >0$

$\quad \therefore \ \ a > 0$


$\quad \cfrac{7 - 2\sqrt{10}}{9} \fallingdotseq 0.075 , \quad \cfrac{1}{7} \fallingdotseq 0.14 , \quad \cfrac{7 + 2\sqrt{10}}{9} \fallingdotseq 1.48 \quad に注意して$

$0 < \cfrac{7 - 2\sqrt{10}}{9} < \cfrac{1}{7} < 1 < \cfrac{7 + 2\sqrt{10}}{9} \quad だから$

(i),(ii),(iii)$\ \ より \quad a\ のとり得る値の範囲は$

$\quad 0 < a \leqq \cfrac{7 - 2\sqrt{10}}{9} $


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