信州大学(医系) 2022年　問題7


$a_1=a_2=1\ \ を満たす数列| \ \{a_n\}\ について、次の \ 2\ つの条件 \ p\ と \ q\ が同値であることを示せ。$
$\quad p: すべての自然数 \ n\ に対して、a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ \ が成り立つ。$
$\quad q: すべての自然数 \ n\ に対して、a_{n+1}^2-a_{n+2} a_n =(-1)^n\ \ が成り立つ。$


$(解説)$

$\ \ 条件 \ p\ の漸化式はフィボナッチ数列ですから、条件 \ q\ は性質になります。$
$\ \ この問題は逆も成りたつことを証明させる問題です。$


$数学的帰納法で証明する。$

$(1)\ \ p \Longrightarrow q \ \ の証明$

$\quad 条件 \ p\ は成りたつから、すべての自然数 \ n\ に対して、a_{n+2}=a_{n+1}+a_n $

$\quad とくに \quad n=1\ \ とおくと \quad a_3=a_2+a_1=1+1=2$

$\quad 条件 \ q\ について$

(i)$\ \ n=1 \quad のとき$

$\quad 左辺=a_2^2-a_3a_1=1^2-2 \times 1=-1$

$\quad 右辺=(-1)^1=-1$

$\quad よって \quad n=1\ \ のとき成りたつ。$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad a_{k+1}^2-a_{k+2} a_k =(-1)^k$

$\quad このとき$
\begin{eqnarray*} \quad & &a_{k+2}^2-a_{k+3} a_{k+1}\\ \\ &=&a_{k+2}^2-(a_{k+2}+a_{k+1})a_{k+1} \qquad (条件 \ p\ より）\\ \\ &=&(a_{k+1}+a_k)^2-(2a_{k+1}+a_k)a_{k+1} \qquad （条件 \ p\ より)\\ \\ &=&-a_{k+1}^2 + a_{k+1}a_k +a_k^2 \\ \\ &=&-a_{k+1}^2 + (a_{k+1} +a_k)a_k \\ \\ &=&-a_{k+1}^2 + a_{k+2}a_k \qquad (条件 \ p\ より) \\ \\ &=&-(a_{k+1}^2 - a_{k+2}a_k) \\ \\ &=&-(-1)^k \qquad (n=k \ の仮定)\\ \\ &=&(-1)^{k+1} \end{eqnarray*} $\quad よって \quad n=k+1 \ \ のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ より　\quad すべての自然数 \ n\ に対して、a_{n+1}^2-a_{n+2} a_n =(-1)^n\ \ が成りたつから \quad p \Longrightarrow q \ \ がいえる$


$(2)\ \ q \Longrightarrow p \ \ の証明$

$\quad 条件 \ q\ は成りたつから、すべての自然数 \ n\ に対して\quad a_{n+1}^2-a_{n+2} a_n =(-1)^n$

$\quad とくに \quad n=1 \quad とおくと \quad a_2^2-a_3a_1=-1 \quad 1-a_3=-1 \quad \therefore a_3=2$

$\quad 条件 \ p\ について$

(i)$\ \ n=1 \quad のとき$

$\quad 左辺=a_3=2$

$\quad 右辺=a_2+a_1=1+1=2$

$\quad よって \quad n=1\ \ のとき成りたつ。$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると \quad a_{k+2}=a_{k+1}+ a_k $

$\quad 条件 \ q\ について \quad n=k+1 \quad とおくと \quad a_{k+2}^2-a_{k+3} a_{k+1} =(-1)^{k+1} \quad よって \quad a_{k+3}=\cfrac{a_{k+2}^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}$

$\quad このとき$
\begin{eqnarray*} \quad & &a_{k+3}-(a_{k+2}+ a_{k+1})\\ \\ &=&\cfrac{a_{k+2}^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}-a_{k+2} - a_{k+1} \qquad (条件 \ q \ より）\\ \\ &=&\cfrac{(a_{k+1}+a_k)^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}-(a_{k+1}+a_k) - a_{k+1} \qquad (n=k \ の仮定)\\ \\ &=&a_{k+1}+2a_k+\cfrac{a_k^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}-2a_{k+1}-a_k\\ \\ &=&-a_{k+1}+a_k+\cfrac{a_k^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}\\ \\ &=&\cfrac{-a_{k+1}^2+a_{k+1}a_k+a_k^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}\\ \\ &=&\cfrac{-a_{k+2}a_k -(-1)^k +a_{k+1}a_k+a_k^2-(-1)^{k+1}}{a_{k+1}} \qquad (条件 \ q\ より)\\ \\ &=&\cfrac{-a_k(a_{k+2} -a_{k+1} -a_k)-(-1)^k+(-1)^k}{a_{k+1}}\\ \\ &=&0 \qquad (条件 \ p\ の仮定)\\ \end{eqnarray*} $\quad よって \quad n=k+1 \ \ のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ より　\quad すべての自然数 \ n\ に対して、a_{n+2}=a_{n+1}+ a_n \ \ が成りたつから \quad q \Longrightarrow p \ \ がいえる$


$(1),(2) より条件 \ p\ と \ q\ は同値である。$


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