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信州大学(理系) 2022年　問題6

$2\ 次の項の係数がともに正の \ 2\ 次関数 \ f(x),\ g(x)\ について、座標平面上の放物線 \ y=f(x),\ y=g(x)\ を$
$それぞれ \ C_1,\ C_2\ とする。また、直線 \ y=\cfrac{1}{2}x \ を \ l\ とする。C_1\ と \ l\ は点(0,\ 0)\ で、C_2\ と \ l\ は点(4,\ 2)\ で接し、$
$C_1\ と \ C_2\ は点(\cfrac{4}{3},\ \cfrac{22}{9})\ で交わるとする。このとき、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)\ と \ g(x)\ を求めよ。$
$(2)\ \ 放物線 \ C_1\ の \ x \geqq 0 \ の部分と放物線 \ C_2\ および直線 \ l\ によって囲まれる図形を、y\ 軸のまわりに1回転$
$\quad してできる回転体の体積を求めよ。$

(1)

　
(i)$\ \ C_1\ について$

$\quad f(x)=ax^2+bx+c \ \ (a > 0) \quad とおくと$

$\quad C_1\ と \ l\ は点(0,\ 0)\ で接するから \quad f(0)=0 \quad より \quad c=0$

$\quad f'(x)=2ax+b \quad f'(0)=\cfrac{1}{2} \quad より \quad b=\cfrac{1}{2}$

$\quad 点(\cfrac{4}{3},\ \cfrac{22}{9})\ を通るから \quad (\cfrac{4}{3})^2a+\cfrac{1}{2} \times \cfrac{4}{3}=\cfrac{22}{9} \quad \therefore \ \ a=1$

$\quad よって \quad C_1:f(x)=x^2+\cfrac{1}{2}x$

(ii)$\ \ C_2\ について$

$\quad g(x)=px^2+qx+r \ \ (p > 0)\ \ とおくと$

$\quad C_2\ と \ l\ は点(4,\ 2)\ で接するから \quad g(4)=2 \quad より \quad 16p+4q+r=2 \hspace{3em}①$

$\quad g'(x)=2px+q \quad g'(4)=\cfrac{1}{2} \quad より \quad 8p+q=\cfrac{1}{2} \hspace{3em}②$

$\quad 点(\cfrac{4}{3},\ \cfrac{22}{9})\ を通るから \quad (\cfrac{4}{3})^2p+\cfrac{4}{3}q+r=\cfrac{22}{9} \hspace{3em}③$

$\quad ①、②、③を解いて p=\cfrac{1}{4},\quad q=-\cfrac{3}{2},\quad r=4$

$\quad よって \quad C_2:g(x)=\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{3}{2}x+4$

(2)

　
$この回転体の体積を求めるにはバームクーヘン分割による方法が簡単である。$

$\quad この方法については($バームクーヘン分割による回転体の体積$)を$

$\quad ご覧ください。$

\begin{eqnarray*} V &=&2\pi\int _0^{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}}x\big((x^2+\cfrac{1}{2}x)-\cfrac{1}{2}x\big)dx+ 2\pi\int _{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}}^4 x\big((\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{3}{2}x+4)-\cfrac{1}{2}x\big)dx\\ \\ &=&2\pi\int _0^{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}}x^3 dx+ 2\pi\int _{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}}^4 (\cfrac{1}{4}x^3-2x^2+4x)dx\\ \\ &=&2\pi\big[\cfrac{x^4}{4}\big] _0^{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}} + 2\pi \big[\cfrac{x^4}{16}-\cfrac{2}{3}x^3+2x^2\big] _{\scriptsize{\cfrac{4}{3}}}^4 \\ \\ &=&2\pi \times \cfrac{1}{4} \times \cfrac{4^4}{3^4} + 2\pi \big\{\cfrac{4^4}{16}-\cfrac{2}{3} \times 4^3 +2 \times 4^2 -(\cfrac{1}{16} \times \cfrac{4^4}{3^4} -\cfrac{2}{3} \times \cfrac{4^3}{3^3} +2 \times \cfrac{16}{9})\big\}\\ \\ &=&\cfrac{640}{81}\pi \end{eqnarray*}

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