信州大学(理系) 2022年 問題5
$p\ は正の実数とする。関数 \ f(x)\ は、すべての実数 \ x\ について \ \ f(x+p)=f(x)\ \ を満たし、$
$0 \leqq x \leqq p \ \ において \quad f(x)=\cfrac{p}{2}-\big|x-\cfrac{p}{2}\big| \quad であるとする。また、$
\[\quad I_k=\int_{p(k-1)}^{pk} e^{-x}f(x)dx \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ \ とおく。このとき、以下の問いに答えよ。\]
$(1)\ \ I_1 \ \ を求めよ。$
$(2)\ \ \cfrac{I_k}{I_1} \ \ を求めよ。$
\[(3)\ \ n\ は自然数とする。\lim_{n \rightarrow \infty} \int _0^{pn} e^{-x}f(x)dx \quad を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)\ \ 等式 \ f(x+p)=f(x) の意味は \ f(x)が周期 \ p\ の周期関数であることを示しています。$
$(2)\ \ t=x-p(k-1) \quad と変数変換します。定積分は周期関数であることをつかうと \ I_1\ になります。$
$(3)\ \ 積分区間を分割すると \ I_k\ の和で表されます。$
(1)
$f(x)=\cfrac{p}{2}-\big|x-\cfrac{p}{2}\big| \quad の絶対値をはずす$
(i)$\ \ 0 \leqq x \leqq \cfrac{p}{2} \quad のとき \quad f(x)=\cfrac{p}{2} +(x-\cfrac{p}{2})=x$
(ii)$\ \ \cfrac{p}{2} \leqq x \leqq p \quad のとき \quad f(x)=\cfrac{p}{2} -(x-\cfrac{p}{2})=p-x$
\begin{eqnarray*}
I_1
&=&\int _0^p e^{-x}f(x)dx\\
\\
&=&\int _0^{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} e^{-x}f(x)dx + \int _{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}^p e^{-x}f(x)dx \\
\\
&=&\int _0^{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} xe^{-x}dx + \int _{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}^p (p-x)e^{-x}dx \\
\\
&=&\big[-xe^{-x}\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} + \int _0^{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} e^{-x}dx +
\big[-(p-x)e^{-x}\big]_{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}^p - \int _{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}^p e^{-x}dx \\
\\
&=&-\cfrac{p}{2}e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} -\big[e^{-x}\big]_0^{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} +
\cfrac{p}{2}e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} + \big[e^{-x}\big] _{\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}^p \\
\\
&=&-e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}} +1 +e^{-p} -e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}\\
\\
&=&1+e^{-p} -2e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}\\
\\
&=&(1-e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}})^2\\
\end{eqnarray*}
(2)
\[I_k=\int_{p(k-1)}^{pk} e^{-x}f(x)dx \quad において \] \[\quad t=x-p(k-1) \quad とおくと \quad dt=dx \quad \quad \begin{array}{c|c} x & p(k-1) \ \ \rightarrow \ pk \quad \\ \hline t & \ 0 \ \rightarrow \ p \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} I_k &=&\int_0^p e^{-t-p(k-1)}f(t+p(k-1))dt\\ \\ &=&e^{-p(k-1)} \int_0^p e^{-t}f(t)dt \qquad (\because \ \ f(t+p(k-1))=f(t) )\\ \\ &=&e^{-p(k-1)} I_1\\ \end{eqnarray*}
$\therefore \ \ \cfrac{I_k}{I_1}= e^{-p(k-1)}$
(3)
\begin{eqnarray*} & &\int _0^{pn} e^{-x}f(x)dx\\ \\ &=&\int_0^p e^{-x}f(x)dx + \int_p^{2p}e^{-x}f(x)dx + \cdots + \int_{p(n-1)}^{pn} e^{-x}f(x)dx\\ \\ &=&\sum _{k=1}^n I_k\\ \\ &=&\sum _{k=1}^n e^{-p(k-1)}I_1\\ \\ &=&I_1 \sum _{k=1}^n e^{-p(k-1)}\\ \\ &=&I_1 \times \cfrac{1- e^{-pn}}{1-e^{-p}}\\ \\ &=&I_1 \times \cfrac{1- e^{-pn}}{1-e^{-p}}\\ \end{eqnarray*}
$ \quad 0 < e^{-p} < 1 \quad だから \quad n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad e^{-pn} \longrightarrow 0 $
$よって$
\[\quad \lim_{n \rightarrow \infty} \int _0^{pn} e^{-x}f(x)dx =I_1 \times \cfrac{1}{1-e^{-p}}= (1-e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}})^2 \times \cfrac{1}{(1-e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}})(1+e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}})}= \cfrac{1-e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}}{1+e^{-\scriptsize{\cfrac{p}{2}}}}\]
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