信州大学(理系) 2020年　問題4


$変量aのデータの値が　a_k=\cos (2k\theta)\ \ (k=1,2,\cdots ,n)であるとする。ただし、0 < \theta < \pi \ \ である。$
$(1)\ \ データの平均値 \ \bar{a}\ は$
$\hspace{5em} \bar{a}=\cfrac{1}{2n\sin \theta}\{\sin (2n\theta + \theta)-\sin \theta\}$
$\qquad で与えられることを示せ。$
$(2)\ \ n=10,\ \ \theta =\cfrac{\pi}{20}\ \ のとき、データの標準偏差 \ s\ を求めよ。$


$(解説)$

$変量aのデータの値が \ \ a_k=\cos (2k\theta)\ \ で与えられるような現象は思いつきません。角度がランダムでは$
$ありませんので、おそらく入試問題として作られた問題だと思います。もしあったらごめんなさい。$

$(1)\ \ cos \ の和を求めなくてななりません。この方法を知らないと厳しいでしょう。$
$(2)\ \ 分散=(2乗平均)-(平均)^2 の公式を用いましょう。このときまた \ \cos \ の和が必要となります。$

(1)

$\qquad S=\cos 2\theta +\cos 4\theta + \cdots + \cos 2n\theta \quad を求めます。$

$この級数は和の求め方が特殊です。\quad 2\sin \alpha \cos \beta=\sin (\alpha +\beta)+\sin (\alpha -\beta) \ \ の公式を用います。$

\begin{eqnarray*} 2\sin \theta \ S &=&2\sin \theta (\cos 2\theta +\cos 4\theta + \cdots + \cos 2n\theta )\\ \\ &=&(\sin 3\theta-\sin \theta)+(\sin 5\theta-\sin 3\theta)+\cdots +(\sin (2n+1)\theta-\sin (2n-1)\theta)\\ \\ &=&(-\sin \theta+\sin 3\theta)+(-\sin 3\theta+\sin 5\theta)+\cdots +(-\sin (2n-1)\theta + \sin (2n+1)\theta)\\ \\ &=&-\sin \theta + \sin (2n+1)\theta\\ \end{eqnarray*} $\therefore S=\cfrac{1}{2\sin \theta}\{\sin (2n\theta + \theta)-\sin \theta \}$

$したがって　データの平均値\ \ \bar{a}\ は$

$\hspace{3em} \bar{a}=\cfrac{S}{n}=\cfrac{1}{2n\sin \theta}\{\sin (2n\theta + \theta)-\sin \theta\}$

(2)


$\quad n=10,\quad \theta =\cfrac{\pi}{20} \quad のとき$
\begin{eqnarray*} \bar{a} &=&\cfrac{1}{20\sin \cfrac{\pi}{20}}\Big\{\sin (20 \times \cfrac{\pi}{20}+ \cfrac{\pi}{20})-\sin \cfrac{\pi}{20}\Big\}\\ &=&\cfrac{1}{20\sin \cfrac{\pi}{20}}\big\{\sin (\pi+ \cfrac{\pi}{20})-\sin \cfrac{\pi}{20}\big\}\\ &=&\cfrac{1}{20\sin \cfrac{\pi}{20}}\big\{-\sin \cfrac{\pi}{20}-\sin \cfrac{\pi}{20}\big\}\\ &=&-\cfrac{1}{10}\\ \end{eqnarray*}
\[s^2=\cfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2 - (\bar{a})^2 \quad だから \quad \sum_{k=1}^n a_k^2 \quad を求めておきましょう。 \]
\[\sum_{k=1}^n a_k^2=\sum_{k=1}^n \cos ^2 2k\theta =\cfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n (1+\cos 4k\theta)=\cfrac{n}{2}+\cfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n \cos 4k\theta\]
\[今度は \quad \sum_{k=1}^n \cos 4k\theta \quad を求めなければなりません。\]
$\quad 2\sin 2\theta (\cos 4\theta +\cos 8\theta + \cdots + \cos 4n\theta )$
\begin{eqnarray*} &=&(\sin 6\theta-\sin 2\theta)+(\sin 10\theta-\sin 6\theta)+\cdots +(\sin (4n+2)\theta-\sin (4n-2)\theta)\\ \\ &=&(-\sin 2\theta+\sin 6\theta)+(-\sin 6\theta+\sin 10\theta)+\cdots +(-\sin (4n-2)\theta + \sin (4n+2)\theta)\\ \\ &=&-\sin 2\theta + \sin (4n+2)\theta\\ \end{eqnarray*}
\[\therefore \sum_{k=1}^n \cos 4k\theta =\cfrac{1}{2\sin 2\theta}\{\sin (4n\theta + 2\theta)-\sin 2\theta \}\]

　
$したがって$
\begin{eqnarray*} s^2 &=&\cfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2 - (\bar{a})^2\\ &=&\cfrac{1}{n}(\cfrac{n}{2}+ \cfrac{1}{2} \sum_{k=1}^n \cos 4k\theta) - (\bar{a})^2 \\ &=&\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4n\sin 2\theta}\{\sin (4n\theta + 2\theta)-\sin 2\theta \} - (\bar{a})^2 \\ &=&\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{40}\cfrac{\sin (2\pi + \cfrac{\pi}{10})-\sin \cfrac{\pi}{10}}{\sin \cfrac{\pi}{10}} - (\bar{a})^2 \\ &=&\cfrac{1}{2}- (-\cfrac{1}{10})^2 \\ &=&\cfrac{49}{100}\\ \end{eqnarray*} $よって$

$\qquad s=\cfrac{7}{10}$

$なお、右の表は実際にExcel を用いて計算したものです。具体的な数値であると少しは理解が進みます。$



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