埼玉大学(理系) 2025年　問題4


$f(x)=x^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-x}\ \ とおく。xy \ 平面において、曲線 \ C:y=f(x)\ \ (0 \leqq x \leqq 4)\ \ を考える。原点を通る直線 \ \ell \ が$
$曲線C\ と原点と異なる点 \ P\ で接しているとする。次の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ \lim_{x \rightarrow +0} f'(x) \ \ と \ \ \lim _{x \rightarrow 4-0} f'(x)\ \ を求めよ。\] $(2)\ \ f(x)\ の最大値を求めよ。また、f(x)\ が最大値をとるとときの \ x\ の値を求めよ。$
$(3)\ \ 点 \ P\ の座標と \ \ell \ の方程式を求めよ。$
\[(4)\ \ x=2-2\sin \theta \ \ とおくことにより、\int_0^2 f(x)dx \ \ を求めよ。\] $(5)\ \ C\ と \ \ell \ で囲まれた図形の面積を求めよ。$


(1)


\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\dfrac{3}{2}x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\sqrt{4-x} - x^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}} \times \dfrac{1}{2\sqrt{4-x}} \hspace{5em}①\\ \\ &=&\dfrac{3}{2}x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\sqrt{4-x} - \dfrac{x^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}} \sqrt{4-x}}{2(4-x)}\\ \\ &=&\dfrac{x^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}\sqrt{4-x}}{2(4-x)}\big(3(4-x)-x\big)\\ \\ &=&\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{4-x}}{4-x}(3-x)\\ \end{eqnarray*} \[\lim_{x \rightarrow +0} f'(x)=0\] \[①より \lim _{x \rightarrow 4-0} f'(x)=-\infty\]

(2)

　

$f'(x)=0 \ \ より \quad x=3$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 3 & \cdots & 4\\ \hline f'(x)& & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$x=3 \ \ で \ f(x)\ は極大かつ最大となり、最大値は$

$f(3)=3^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-3}=3\sqrt{3}$

$f(0)=0,\quad f(4)=0$

$y=f(x) \ \ のグラフは右図のとおり$


(3)

　

$(1)より \ \ f'(x)=\dfrac{2\sqrt{x}\sqrt{4-x}}{4-x}(3-x) \ \ だから$

$接点を \ P(p,\ q),\quad q=p^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-p} \ \ とおくと$

$\ell \ の方程式は$

$y=\dfrac{2\sqrt{p}\sqrt{4-p}}{4-p}(3-p)(x-p)+ p^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-p})$

$これが原点を通るから$

$0=\dfrac{2\sqrt{p}\sqrt{4-p}}{4-p}(3-p)(-p)+ p^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-p})$

$0=\dfrac{-2(3-p)}{4-p}+ 1$

$2(3-p)=4-p$

$\therefore \ \ p=2$

$q=2^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-2}=4$

$よって \quad P(2,\ 4)$

$\ell \ は原点と \ P(2,\ 4) を通るから \quad y=2x$


(4)


\[I=\int_0^2f(x)dx=\int_0^2 x^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-x}dx \quad において\] \[ x=2-2\sin \theta \ \ とおくと \qquad dx=-2\cos \theta \qquad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow 2 \quad \\ \hline \theta & \ \dfrac{\pi}{2} \rightarrow 0 \\ \end{array} \] \begin{eqnarray*} I &=&\int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^0 \big(2-2\sin \theta)\big)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{4-(2-2\sin \theta)}(-2\cos \theta)d\theta\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} 4\sqrt{2}(1-\sin \theta)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{2+2\sin \theta}\cos \theta d\theta\\ \\ &=&8\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1-\sin \theta)^{\scriptsize{\dfrac{3}{2}}}\sqrt{1+\sin \theta}\cos \theta d\theta\\ \\ &=&8\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1-\sin \theta)\sqrt{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}\cos \theta d\theta\\ \\ &=&8\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1-\sin \theta)\sqrt{1-\sin ^2\theta }\cos \theta d\theta\\ \\ &=&8\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (1-\sin \theta)\cos ^2\theta d\theta\\ \\ &=&8\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (\cos ^2 \theta -\sin \theta \cos ^2\theta) d\theta\\ \\ &=&8\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (\dfrac{1+\cos 2 \theta}{2} -\sin \theta \cos ^2\theta) d\theta\\ \\ &=&8\big[\dfrac{1}{2}(\theta + \dfrac{1}{2}\sin 2\theta )+\dfrac{1}{3}\cos ^3\theta \big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&8(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{4}\sin \pi+\dfrac{1}{3}\cos ^3 \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{3})\\ \\ &=&2\pi-\dfrac{8}{3} \end{eqnarray*}

(5)


$C\ と \ \ell \ で囲まれた図形の面積 \ S\ は$
\begin{eqnarray*} S &=&\int_0^2(2x-f(x)dx\\ \\ &=&\int_0^2 2xdx - \int_0^2f(x)dx\\ \\ &=&\big[x^2\big]_0^2 -\int_0^2f(x)dx\\ \\ &=&4-(2\pi-\dfrac{8}{3})\\ \\ &=&\dfrac{20}{3}-2\pi \end{eqnarray*}

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