埼玉大学(理系) 2025年　問題3


\[n\ を自然数とし、f_n(x)=x^{n+1}+nx^n-1 \ \ とおく。次の問いに答えよ。必要なら、\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\log n}{n}=0 \ \ を\] $用いてよい。$
$(1)\ \ 方程式 \ \ f_1(x)=0 \ \ の解を求めよ。$
$(2)\ \ 方程式 \ \ f_2(x)=0 \ \ の解を求めよ。$
$(3)\ \ 方程式 \ \ f_n(x)=0 \ \ は、0 < x < 1\ \ の範囲に解をもつことを示せ。また、0< x < 1\ \ の範囲にある解は$
$\quad ただ \ 1\ つであることを示せ。$
$(4)\ \ n \geqq 2 \ \ のとき、f_n(n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}})\ \ の正負を判定せよ。$
\[(5)\ \ (3)の解を \ x_n\ とおく。 \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \ \ を求めよ。\]


(1)


$f_1(x)=x^2+x-1=0 \ \ の解は \quad x=\dfrac{-1 \pm\sqrt{5}}{2}$


(2)


$f_2(x)=x^3+2x^2-1 \ \ は \ \ f_2(-1)=0 \ \ だから \ \ x+1 \ \ を因数にもつ。除法をおこなって$

$f_2(x)=(x+1)(x^2+x-1)$

$f_2(x)=0\ \ の解は \quad x=-1, \quad \dfrac{-1 \pm\sqrt{5}}{2}$


(3)


$f_n(0)=-1,\quad f_n(1)=1+n-1=n > 0 \qquad f_n(x)\ は明らかに連続関数だから$

$中間値の定理により \quad f_n(x)=0\ \ は区間 \ (0,\ 1)\ に少なくとも \ １\ つの解をもつ。$

$また、この区間において \quad f'(x)=(n+1)x^n + n^2x^{n-1}=x^{n-1}((n+1)x+n^2) > 0 \ \ だから$

$f_n(x) \ \ は単調増加$

$したがって 区間 \ (0,\ 1)\ \ にある解はただ \ 1\ つである。$


(4)


$n \geqq 2 \ \ のとき$

\begin{eqnarray*} f_n(n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}}) &=&\big(n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}})^{n+1} +n\big(n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}}\big)^n-1\\ \\ &=&n^{-\scriptsize{\dfrac{2(n+1)}{n}}} +n \times n^{-2} -1\\ \\ &=&\dfrac{1}{n^{2+\scriptsize{\dfrac{2}{n}}}} + \dfrac{1}{n} -1\\ \\ &<&\dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{n} -1\\ \\ &\leqq& \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1\\ \\ &=&-\dfrac{1}{4} \end{eqnarray*} $よって \quad f_n(n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}}) < 0$


(5)

　

$(3),(4) より \quad n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}} < x_n < 1$

$a_n=n^{-\scriptsize{\dfrac{2}{n}}} \ \ とおくと$

$\log a_n=-\dfrac{2}{n}\log n=-2 \times \dfrac{\log n}{n} $

$n \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad \dfrac{\log n}{n} \longrightarrow 0 \ \ だから \quad a_n \longrightarrow 1$

\[はさみうちの原理により \quad \lim_{n \rightarrow \infty} x_n =1\]

ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る