埼玉大学(理系) 2025年　問題2


$n\ を \ 2\ 以上の整数とする。xy\ 平面において、連立不等式 \ \ x \geqq 0,\ \ y \geqq 0,\ \ x+y \leqq n \ \ の表す領域に含まれる$
$格子点全体の集合を \ S\ とする。ただし、格子点とは \ x\ 座標、y\ 座標がどちらも整数である点のことをいう。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 4\ 頂点が \ S\ に属する長方形で、x\ 軸と平行な辺をもち、1\ つの頂点が \ (1,\ n-1)\ にあるものの個数を求めよ。$
$(2)\ \ k\ を \ \ 1 \leqq k \leqq n-1 \ \ を満たす整数とする。4\ 頂点が \ S\ に属する長方形で、x\ 軸と平行な辺をもち、1\ つの$
$\quad 頂点が \ (k,\ n-k)\ にあるものの個数を求めよ。$
$(3)\ \ 4\ 頂点が \ S\ に属する長方形で、x\ 軸と平行な辺をもち、1\ つの頂点が直線 \ x+y=n \ \ 上にあるものの個数$
$\quad を求めよ。$
$(4)\ \ 4\ 頂点が \ S\ に属する長方形で、x\ 軸と平行な辺をもつものの個数を求めよ。$


(1)

　

$長方形となる左下の頂点の座標は$

$(0,0),\ \ (0,\ 1),\ \ (0,\ 2),\ \cdots ,\ (0,\ n-2) \ \ だから$

$1\ つの頂点が \ (1,\ n-1)\ にある長方形の個数は \quad (n-1)\ \ 個$


(2)


$長方形となる左下の頂点の座標は$

$(0,0),\ \ (1,\ 0),\ \ (2,\ 0),\ \cdots ,\ (k-1,\ 0)$

$(0,1),\ \ (1,\ 1),\ \ (2,\ 1),\ \cdots ,\ (k-1,\ 1)$

　

$\hspace{5em} \vdots$

$(0,n-k-1),\ \ (1,\ n-k-1),\ \ (2,\ n-k-1),\ \cdots ,$

$\hspace{20em}\ (k-1,\ n-k-1)$

$だから$

$1\ つの頂点が \ (k,\ n-k)\ にある長方形の個数は$

$k \times (n-k)=k(n-k)\ \ 個$

$(参考)\ \ とくに \ \ k=1\ \ のときが(1)の場合である。$


(3)


$(2) の場合で、k=1 ～(n-1) \ \ と動いた場合だから$

\begin{eqnarray*} & &\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)\\ \\ &=&n\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2\\ \\ &=&n \times \dfrac{(n-1)n}{2}-\dfrac{n-1}{6} \times n((2(n-1)+1)\\ \\ &=&\dfrac{n^2(n-1)}{2}-\dfrac{n(n-1)}{6}(2n-1)\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}(n^3-n)\\ \end{eqnarray*}

(4)


$1\ つの頂点が直線 \ x+y=m \ \ (m=2 ～n)\ \ 上にあるものの長方形の個数は(3)より \ \ \dfrac{1}{6}(m^3-m)\ \ だから$

$4\ 頂点が \ S\ に属する長方形で、x\ 軸と平行な辺をもつ長方形の個数 \ N\ は$

\begin{eqnarray*} N &=&\sum_{m=2}^{n}\dfrac{1}{6}(m^3-m)\\ \\ &=&\sum_{m=1}^{n}\dfrac{1}{6}(m^3-m)\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}\big\{\big(\dfrac{n(n+1)}{2}\big)^2-\dfrac{n(n+1)}{2}\big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{6} \times \dfrac{n(n+1)}{2} \big(\dfrac{n(n+1)}{2}-1\big)\\ \\ &=&\dfrac{n(n+1)}{24}(n^2+n-2)\\ \\ &=&\dfrac{n}{24}(n-1)(n+1)(n+2) \ \ (個)\\ \end{eqnarray*}

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