埼玉大学(理系) 2025年　問題1


$\triangle OAB \ において、\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b}\ \ とおく。辺 \ AB\ を \ 2:1 \ に内分する点を \ C、辺 \ AB\ を \ 2:1\ に外分する$
$点を \ D、線分 \ CD\ の中点を \ E\ とするとき、次が成り立つとする。$
$\hspace{5em} |\vec{OC}|^2+|\vec{OD}|^2=\dfrac{16}{9}|\vec{AB}|^2,\qquad \vec{OE} \cdot \vec{OA}=0$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \vec{OC},\ \ \vec{OD},\ \ \vec{OE}\ \ をそれぞれ \ \ \vec{a},\ \ \vec{b}\ \ を用いて表せ。$
$(2)\ \ |\vec{a}|=k \ とするとき、|\vec{b}|\ と \ \vec{a} \cdot \vec{b}\ \ をそれぞれ \ k\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ \angle COE \ \ を求めよ。$


(1)

　

$\vec{OC}=\dfrac{1 \times \vec{a}+2 \times \vec{b}}{2+1}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{OD}=\dfrac{-1 \times \vec{a}+2 \times \vec{b}}{2-1}=-\vec{a}+2\vec{b}$

$\vec{OE}=\dfrac{1}{2}(\vec{OC}+\vec{OD})=\dfrac{1}{2}\big((\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b})+(-\vec{a}+2\vec{b})=-\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{4}{3}\vec{b}$


(2)


(i)$\ \ |\vec{OC}|^2+|\vec{OD}|^2=\dfrac{16}{9}|\vec{AB}|^2 \ \ より$

$\quad \big|\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}\big|^2+|-\vec{a}+2\vec{b}|^2=\dfrac{16}{9}|\vec{b}-\vec{a}|^2$

$\quad \dfrac{1}{9}|\vec{a}|^2+\dfrac{4}{9}|\vec{b}|^2+ \dfrac{4}{9}\vec{a} \cdot \vec{b}+ |\vec{a}|^2+4|\vec{b}|^2 -4\vec{a} \cdot \vec{b} =\dfrac{16}{9}\big(|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot \vec{b} \big)$

$\quad |\vec{a}|^2=4|\vec{b}|^2$

$\quad \therefore \ \ |\vec{b}|=\dfrac{1}{2}|\vec{a}|=\dfrac{k}{2}$

(ii)$\ \ \vec{OE} \cdot \vec{OA}=0\ \ より$

$\quad \big(-\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{4}{3}\vec{b}\big) \cdot \vec{a}=0$

$\quad -|\vec{a}|^2+4\vec{a} \cdot \vec{b}=0$

$\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=\dfrac{1}{4}|\vec{a}|^2=\dfrac{k^2}{4}$


(3)


$|\vec{OC}|^2=\big|\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}\big|=\dfrac{1}{9}|\vec{a}|^2+\dfrac{4}{9}|\vec{b}|^2+\dfrac{4}{9}\vec{a} \cdot \vec{b}=\dfrac{k^2}{9}+\dfrac{4}{9} \times \dfrac{k^2}{4}+\dfrac{4}{9} \times \dfrac{k^2}{4}=\dfrac{k^2}{3}$

$|\vec{OE}|^2=\big|-\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{4}{3}\vec{b}\big|=\dfrac{1}{9}|\vec{a}|^2+\dfrac{16}{9}|\vec{b}|^2-\dfrac{8}{9}\vec{a} \cdot \vec{b}=\dfrac{k^2}{9}+\dfrac{16}{9} \times \dfrac{k^2}{4}-\dfrac{8}{9} \times \dfrac{k^2}{4}=\dfrac{k^2}{3}$

$\vec{OC} \cdot \vec{OE}=\big(\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}\big) \cdot \big(-\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{4}{3}\vec{b}\big)=-\dfrac{1}{9}|\vec{a}|^2+\dfrac{8}{9}|\vec{b}|^2+\dfrac{2}{9}\vec{a} \cdot \vec{b}=-\dfrac{k^2}{9}+\dfrac{8}{9} \times \dfrac{k^2}{4}+\dfrac{2}{9} \times \dfrac{k^2}{4}=\dfrac{k^2}{6}$

$\cos \angle COE=\dfrac{\vec{OC} \cdot \vec{OE}}{|\vec{OC}||\vec{OE}|}=\dfrac{\dfrac{k^2}{6}}{\dfrac{k}{\sqrt{3}} \times \dfrac{k}{\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{2}$

$よって　\angle COE=\dfrac{\pi}{3}$


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