埼玉大学(理系) 2023年　問題4


$xy\ 平面上の曲線 \ C:y=\cfrac{1}{x}\ \ (x > 0)\ \ を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点(t,\ \cfrac{1}{t}) \ \ (t > 0)\ \ における \ C\ の法線の方程式を求めよ。$
$(2)\ \ 点(k,\ k)\ を通る \ C\ の法線が直線 \ y=x\ のほかにちょうど \ 2\ 本存在するような実数 \ k\ の範囲を求めよ。$
$(3)\ \ 点(\cfrac{5}{2},\ \cfrac{5}{2})\ を通る \ C\ の法線であって、y=x\ と異なるものは \ 2\ 本ある。これら \ 2\ 本の法線と \ C\ で$
$\quad 囲まれた図形の面積を求めよ。$


(1)

　

$y=\cfrac{1}{x} \quad より \quad y'=-\cfrac{1}{x^2}$

$点P(t,\ \cfrac{1}{t}) \ \ (t > 0)\ \ におけるC\ の接線の傾きは \ \ -\cfrac{1}{t^2} \ \ だから$

$点P\ における法線の傾きは \ \ t^2$

$したがって点P\ における法線の方程式は$

$ y=t^2(x-t)+\cfrac{1}{t} \quad すなわち \quad y=t^2x-t^3+\cfrac{1}{t}$


(2)

　

$(1)より点P(t,\ \cfrac{1}{t}) \ における法線の方程式$

$y=t^2x-t^3+\cfrac{1}{t}\ \ が点Q(k,\ k)\ \ を通るから$

$k=kt^2-t^3+\cfrac{1}{t}$

$k(t^2-1)=t^3-\cfrac{1}{t}$

$k(t^2-1)=\cfrac{(t^2-1)(t^2+1)}{t}$

$t=1\ \ のとき、法線は \ \ y=x\ \ となるから \quad t \ne 1$

$両辺を \ \ t^2-1\ \ で割って $

$k=\cfrac{t^2+1}{t}=t+\cfrac{1}{t}$

$分母を払って$

$t^2-kt+1=0$

$法線が \ t > 0\ で、ちょうど \ 2\ 本存在するような実数 \ k\ の条件は$

(i)$\ \ 判別式について $

$\quad D=k^2-4 > 0 \qquad k < -2 ,\quad k > 2 $

(ii)$\ \ 軸について $

$\quad t=\cfrac{k}{2} > 0 \qquad k > 0$

(iii)$\ \ y\ 軸との交点について $

$\quad 交点は正でなければならないが \ 1\ だからこれを満たしている。$

(i),(ii),(iii)$\ \ より \quad k > 2$


$(別解)$

$k=t+\cfrac{1}{t} \quad より \quad y=t+\cfrac{1}{t} \ \ と \ \ y=k\ \ のグラフの共有点の個数を調べる。$

$y=t+\cfrac{1}{t}\quad より \quad y'=1-\cfrac{1}{t^2}=\cfrac{t^2-1}{t^2}$

$y'=0 \quad より \quad t=1$

　

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y'& & - & 0 & + \\ \hline y & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \] $t=1 \ で \ y\ は極小となり極小値は \quad y=2$

$t \longrightarrow +0 \quad のとき \quad y \longrightarrow +\infty$

$t \longrightarrow +\infty \quad のとき \quad y \longrightarrow +\infty$

$グラフは右図のとおりで、共有点が \ 2\ つあるのは$

$k >2 \ \ のとき$


(3)


$(1)より点P(t,\ \cfrac{1}{t}) \ における法線の方程式 \quad y=t^2x-t^3+\cfrac{1}{t}\ \ が点R(\cfrac{5}{2},\ \cfrac{5}{2})\ \ を通るから$

$(2)より \quad t+\cfrac{1}{t}=\cfrac{5}{2}$

$2t^2-5t+2=0$

$(2t-1)(t-2)=0 \qquad \therefore \ \ t=\cfrac{1}{2},\ \ 2$

　

$法線の方程式は接点が$

$\quad A(\cfrac{1}{2},\ 2) \quad のとき \quad y=\cfrac{1}{4}x-\cfrac{1}{8}+2 \qquad \ell_1:y=\cfrac{1}{4}x+\cfrac{15}{8}$

$\quad B(2,\ \cfrac{1}{2}) \quad のとき \quad y=4x-8+\cfrac{1}{2} \qquad \ell_2:y=4x-\cfrac{15}{2}$

$法線\ell_1 \ と \ \ell_2 \ と\ C\ で囲まれた図形を右図のように$

$直線 \ x=2\ で \ 2\ つに分割すると$

\begin{eqnarray*} S_1 &=&\int_{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^2\big(\cfrac{1}{4}x+\cfrac{15}{8}-\cfrac{1}{x}\big)dx\\ \\ &=&\big[\cfrac{1}{8}x^2+\cfrac{15}{8}x-\log x \big]_{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}+\cfrac{15}{4}- \log 2 -\big(\cfrac{1}{32}+\cfrac{15}{16}- \log \cfrac{1}{2}\big)\\ \\ &=&\cfrac{105}{32} - 2\log 2\\ \end{eqnarray*}
$法線 \ \ell_1\ 上で、x\ 座標が \ 2\ の点を \ D とすると \ D(2,\ \cfrac{19}{8})$

\begin{eqnarray*} S_2 &=&\triangle BDR\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times \big(\cfrac{19}{8}-\cfrac{1}{2}\big) \times \big(\cfrac{5}{2}-2\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times \cfrac{15}{8} \times \cfrac{1}{2}\\ \\ &=&\cfrac{15}{32} \end{eqnarray*}
$したがって、法線 \ \ell_1 と \ell_2 と\ C\ で囲まれた図形の面積Sは$

$S=S_1+S_2=\big(\cfrac{105}{32} - 2\log 2 \big) + \cfrac{15}{32}=\cfrac{15}{4}-2\log 2$


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