埼玉大学(理系) 2023年 問題3
$xy\ 平面上の曲線 \ C:y=x^3-3x \ \ を考える。n\ を自然数とし、点(n,\ n^3-3n)\ におけるCの接線を \ \ell _n \ とする。$
$また、C\ と \ \ell_n\ で囲まれた図形(境界を含む)を \ D_n\ とし、D_n \ に含まれる格子点の個数を \ T_n \ とする。$
$ただし、格子点とは \ x\ 座標、y\ 座標がどちらも整数である点のことをいう。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \ell_n \ \ の方程式を求めよ。$
$(2)\ \ C \ と \ \ell_n \ の共有点をすべて求めよ。$
$(3)\ \ n=1 \ \ のときを考える。D_1\ に含まれる格子点をすべて求めよ。$
$(4)\ \ T_n \ \ を求めよ。$
(1)
$y=x^3-3x \quad より \quad y'=3x^2-3$
$点(n,\ n^3-3n)\ におけるCの接線は \quad y=(3n^2-3)(x-n)+n^3-3n$
$\therefore \ \ \ell_n : y=3(n^2-1)x-2n^3$
(2)
$C: y=x^3-3x \qquad \ell : y=3(n^2-1)x-2n^3 \quad の共有点は$
$x^3-3x=3(n^2-1)x-2n^3 \quad より \quad x^3-3n^2x+2n^3=0$
$点(n,\ n^3-3n)\ \ が接点だから \ \ (x-n)^2\ \ を因数にもつことに注意して$
$(x-n)^2(x+2n)=0 \qquad x=n ,\ \ -2n$
$よって 共有点は \ \ (n,\ n^3-3n)\ \ と \ \ (-2n,\ -8n^3+6n)$
(3)
$y=f(x)=x^3-3x \ \ のグラフは$
$y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1) \qquad y'=0 \quad より \quad x=-1,\ \ 1$
$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x)& + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x)& \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=1 \ で \ f(x)\ は極小となり極小値は \quad f(1)=-2$
$C: y=f(x)\ は奇関数だからグラフは原点に関して対称である。$
$グラフは右図のとおりで、D_1\ に含まれる格子点は$
$A(-2,\ -2),\ \ B(-1,\ -2),\ \ C(-1,\ -1),\ \ D(-1,\ 0),\ \ E(-1,\ 1)$
$F(-1,\ 2),\ \ G(0,\ -2),\ \ H(0,\ -1),\ \ I(0,\ 0),\ \ J(1,\ -2)$
$の \ 10\ 個$
(4)
$任意の \ n\ について、曲線 \ C\ は接線 \ \ell_n \ より上側にある。$
$-2n \leqq x \leqq n \ \ の \ x\ に対して、C \ と \ \ell_n \ の \ (y\ 座標の差 \ +1)\ が$
$格子点の個数だから$
\begin{eqnarray*} T_n &=&\sum _{x=-2n}^n \{(x^3-3x)-(3(n^2-1)x-2n^3)+1\}\\ \\ &=&\sum _{x=-2n}^n (x^3-3n^2x+2n^3+1)\\ \\ &=&\sum _{x=-2n}^{-1} (x^3-3n^2x)+\sum _{x=0}^n (x^3-3n^2x)+\sum _{x=-2n}^n (2n^3+1)\\ \end{eqnarray*}
$一般に$
(i)$\ \ g(x)\ が奇関数のとき$
\begin{eqnarray*} \quad \sum _{x=-2n}^{-1} g(x) &=&g(-2n)+g(-2n+1)+ \cdots +g(-1)\\ \\ &=&-g(2n)-g(2n-1)- \cdots -g(1)\\ \\ &=&-\big(g(1)+g(2)+ \cdots + g(2n)\big)\\ \\ &=&-\sum _{x=1}^{2n} g(x) \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ g(x)\ が偶関数のとき$
\begin{eqnarray*} \quad \sum _{x=-2n}^{-1} g(x) &=&g(-2n)+g(-2n+1)+ \cdots +g(-1)\\ \\ &=&g(2n)+g(2n-1)+ \cdots +g(1)\\ \\ &=&g(1)+g(2)+ \cdots + g(2n)\\ \\ &=&\sum _{x=1}^{2n} g(x) \end{eqnarray*}
$したがって$
\begin{eqnarray*} T_n &=&-\sum _{x=1}^{2n} (x^3-3n^2x) +\sum _{x=1}^n (x^3-3n^2x)+\sum _{x=0}^{3n} (2n^3+1)\\ \\ &=&-\Big(\cfrac{2n(2n+1)}{2}\Big)^2+3n^2 \times \cfrac{2n(2n+1)}{2} + \Big(\cfrac{n(n+1)}{2}\Big)^2-3n^2 \times \cfrac{n(n+1)}{2}+(2n^3+1) \times (3n+1)\\ \\ &=&-n^2(2n+1)^2 + 3n^3(2n+1) + \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}- \cfrac{3}{2}n^3(n+1) + (2n^3+1)(3n+1)\\ \\ &=&n^2(2n+1)\big\{-(2n+1) + 3n \big\} + \cfrac{n^2(n+1)}{4}\big\{(n+1)-6n\big\} + (2n^3+1)(3n+1)\\ \\ &=&n^2(2n+1)(n-1) + \cfrac{n^2(n+1)}{4}(-5n+1) + (2n^3+1)(3n+1)\\ \\ &=&\cfrac{n^2}{4}\big\{4(2n+1)(n-1) - (n+1)(5n-1)\big \} + (2n^3+1)(3n+1)\\ \\ &=&\cfrac{n^2}{4}(3n^2-8n-3) + (2n^3+1)(3n+1)\\ \\ &=&\cfrac{n^2}{4}(n-3)(3n+1) + (2n^3+1)(3n+1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(3n+1)\big(n^2(n-3)+4(2n^3+1)\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(3n+1)(9n^3-3n^2+4)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(3n+1)(3n+2)(3n^2-3n+2)\\ \end{eqnarray*}
$(別解)$
$曲線 \ C\ を \ x\ 軸方向に \ 2n\ 平行移動させると、それに伴って \ \ell_n \ も平行移動するから$
$C\ と \ \ell_n\ で囲まれた図形 \ D_n \ および \ D_n \ に含まれる格子点の個数は変化しない。$
$そこで、C\ と \ \ell_n \ の \ (y座標の差+1)\ である関数を \ \ f(x)=x^3-3n^2x+2n^3+1 \ \ とおく$
$f(x)\ を \ x\ 軸方向に \ 2n\ 平行移動させると$
\begin{eqnarray*} f(x-2n) &=&(x-2n)^3-3n^2(x-2n)+2n^3+1\\ \\ &=&x^3+3x^2(-2n)+3x(-2n)^2+(-2n)^3-3n^2x+6n^3+2n^3+1\\ \\ &=&x^3-6nx^2 + 9n^2x +1\\ \end{eqnarray*} $この移動に伴って共有点も \ (3n,\ n^3-3n)\ と \ (0,\ -8n^3+6n)\ となるから$
\begin{eqnarray*} T_n &=&\sum _{x=0}^{3n}(x^3-6nx^2 + 9n^2x +1)\\ \\ &=&\sum _{x=1}^{3n}(x^3-6nx^2 + 9n^2x ) + \sum _{x=0}^{3n}1\\ \\ &=&\Big(\cfrac{3n(3n+1)}{2}\Big)^2 -6n \times \cfrac{1}{6}(3n)(3n+1)(6n+1)+ 9n^2 \times \cfrac{(3n)(3n+1)}{2} +(3n+1)\\ \\ &=&\cfrac{3n+1}{4}\big\{9n^2(3n+1)-12n^2(6n+1)+54n^3+4\big\}\\ \\ &=&\cfrac{3n+1}{4}(9n^3-3n^2+4)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(3n+1)(3n+2)(3n^2-3n+2) \end{eqnarray*}
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