埼玉大学(理系) 2023年　問題2


$k\ を実数とし、xy\ 平面上の \ 2\ つの曲線 \ C_1:y=\sin x \ \ (0 \leqq x \leqq \pi),\ \ C_2:y=k+\cos x \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)\ \ を考える。$
$C_1\ の接線で傾きが \ -\cfrac{1}{2}\ のものを \ \ell\ とする。さらに、\ell\ は \ C_2\ 上の点(t,\ k+\cos t)\ \ (0 < t <\cfrac{\pi}{2}) \ において$
$ \ C_2\ と接するものとする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \ell \ と \ C_1\ の接点の \ x\ 座標を求めよ。$
$(2)\ \ t\ および \ k\ を求めよ。$
$(3)\ \ C_1 \ と \ C_2\ の共有点を \ P(a,\ b)\ とする。P\ の \ y\ 座標 \ b\ を求めよ。$
$(4)\ \ P(a,\ b)\ は(3)のものとする。C_1\ と \ x\ 軸で囲まれた図形のうち、x\ 座標が \ a\ 以下である部分の面積を求めよ。$


(1)

　

$\ell \ と \ C_1\ との接点を \ Q(u,\ \sin u) \ \ ((0 \leqq u \leqq \pi)\ \ とおくと$

$y=\sin x \quad より \quad y'=\cos x \quad だから$

$\cos u=-\cfrac{1}{2}$

$\therefore \ \ u=\cfrac{2}{3}\pi$


(2)

　

$\sin \cfrac{2}{3}\pi=\cfrac{\sqrt{3}}{2} \quad だから \quad Q(\cfrac{2}{3}\pi,\cfrac{\sqrt{3}}{2})$

$接線 \ \ell \ は傾き \ \ -\cfrac{1}{2}\ \ で点 \ Q(\cfrac{2}{3}\pi,\ \cfrac{\sqrt{3}}{2})\ \ を通るから$

$y=-\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{2}{3}\pi)+ \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\ell : y=-\cfrac{1}{2}x + \cfrac{\pi}{3}+ \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\ell\ は \ C_2\ 上の点 \ R(t,\ k+\cos t)\ \ (0 < t <\cfrac{\pi}{2}) \ \ において$

$ \ C_2\ と接するから、この点における\ C_2\ の接線が \ \ell \ である。$

$C_2:y=k+\cos x \quad より \quad y'=-\sin x$

$-\sin t=-\cfrac{1}{2} \qquad \therefore \ \ t=\cfrac{\pi}{6}$

$点R(t,\ k+\cos t) \ は\ C_2 \ 上と \ \ell \ 上の点だから $

$k+\cos \cfrac{\pi}{6}=-\cfrac{1}{2} \times \cfrac{\pi}{6} + \cfrac{\pi}{3}+ \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

$k+\cfrac{\sqrt{3}}{2} =\cfrac{\pi}{4} + \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore \ \ k==\cfrac{\pi}{4}$


(3)


$P(a,\ b)\ は \ C_1 \ と \ C_2\ の共有点だから$

$\sin a=\cfrac{\pi}{4} + \cos a$

$\sin ^2 a=\big(\cfrac{\pi}{4} + \cos a\big)^2$

$1-\cos ^2 a=\cfrac{\pi ^2}{16} + \cfrac{\pi}{2}\cos a + \cos ^2 a $

$2\cos ^2 a + \cfrac{\pi}{2}\cos a + \cfrac{\pi ^2}{16} -1=0$

$ 0 < a < \cfrac{\pi}{2} \quad (きちんとした証明は下の補充参照) \quad だから \quad \cos a > 0$

\begin{eqnarray*} \cos a &=&\cfrac{-\dfrac{\pi}{2} + \sqrt{\dfrac{\pi ^2}{4} -8(\dfrac{\pi ^2}{16} -1)}}{4}\\ \\ &=&\cfrac{-\dfrac{\pi}{2} + \sqrt{8-\dfrac{\pi ^2}{4}}}{4}\\ \\ &=&\cfrac{1}{8}(\sqrt{32 -\pi ^2} - \pi)\\ \end{eqnarray*}
$よって$

\begin{eqnarray*} b &=&\cfrac{\pi}{4} + \cos a\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{4} + \cfrac{1}{8}(\sqrt{32 -\pi ^2} - \pi)\\ \\ &=&\cfrac{1}{8}(\pi + \sqrt{32 -\pi ^2}) \end{eqnarray*}

$(補充)$

$C_1 \ と \ C_2\ の共有点の \ x\ 座標はどこにあるかきちんと調べるために$

$f(x)=(\cfrac{\pi}{4}+\cos x)-\sin x \quad とおくと$

$f'(x)=-\sin x -\cos x =-\sqrt{2}\sin(x+\cfrac{\pi}{4})$

$0 \leqq x \leqq \pi \quad より \quad \cfrac{\pi}{4} \leqq x+\cfrac{\pi}{4} \leqq \cfrac{5}{4}\pi$

$f'(x)=0 \quad より \quad x+\cfrac{\pi}{4}=\pi \qquad \therefore \ \ x=\cfrac{3}{4}\pi$

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& 0 & \cdots & \cfrac{3}{4}\pi & \cdots & \pi\\ \hline f'(x)& & - & 0 & + & \\ \hline S& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]

　

$x=\cfrac{3}{4}\pi \ で \ f(x)\ は極小かつ最小となり、$

$最小値は \quad f(\cfrac{3}{4}\pi)=\cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\pi}{4}-\sqrt{2}<0$

$f(0)=\cfrac{\pi}{4}+1 > 0 $

$f(\pi)=\cfrac{\pi}{4}-1 <0 $

$f(\cfrac{\pi}{2})=\cfrac{\pi}{4}-1 <0 $

$したがって \quad f(x)=0 \ \ の解は、区間 \ [0,\ \pi] \ でただ \ 1\ つだけありそれを \ a\ とすると$

$中間値の定理より \quad 0 < a < \cfrac{\pi}{2} $


(4)

　

\begin{eqnarray*} S &=&\int _0^a \sin x dx\\ \\ &=&\big[-\cos x \big]_0^a\\ \\ &=&1-\cos a\\ \\ &=&1-\cfrac{1}{8}(\sqrt{32 -\pi ^2} -\pi )\\ \\ &=&\cfrac{1}{8}(8+\pi - \sqrt{32 -\pi ^2}) \end{eqnarray*}

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