埼玉大学(理系) 2023年　問題1


$t\ を実数とし、0 < t < 1\ \ を満たすとする。 z=-t^3+t^3i ,\ \ w=t-2+ti \ \ とし、複素数平面において$
$ \ z,\ w\ を表す点をそれぞれ \ P,\ Q\ とする。また、複素数平面において \ 0\ を表す点を \ O\ とし、$
$3\ 点 \ O,\ P,\ Q\ を頂点とする三角形の面積を \ S\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ z,\ w\ の絶対値 \ |z|,\ |w|\ をそれぞれ求めよ。$
$(2)\ \ \cfrac{w}{z}=a+bi\ \ を満たす実数 \ a,\ b\ を求めよ。$
$(3)\ \ \angle POQ=\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)\ \ とする。 \cos \theta \ \ および \ \ \sin \theta \ \ を求めよ。$
$(4)\ \ S\ を求めよ。$
$(5)\ \ 0 < t < 1\ の範囲で \ t\ を変化させたときの \ S\ の最大値と、そのときの \ t\ の値を求めよ。$


(1)


$|z|=|-t^3+t^3i|=|t^3(-1+i)|=t^3|-1+i|=\sqrt{2}t^3$

$|w|=|t-2+ti|=\sqrt{(t-2)^2+t^2}=\sqrt{2t^2-4t+4}=\sqrt{2(t^2-2t+2)}$

(2)


\begin{eqnarray*} \cfrac{w}{z} &=&\cfrac{t-2+ti}{t^3(-1+i)}\\ \\ &=&\cfrac{(t-2+ti)(-1-i)}{t^3 \times 2}\\ \\ &=&\cfrac{-(t-2)+t-((t-2)+t)i}{2t^3}\\ \\ &=&\cfrac{2-(2t-2)i}{2t^3}\\ \\ &=&\cfrac{1-(t-1)i}{t^3}\\ \end{eqnarray*}
$したがって \quad a=\cfrac{1}{t^3},\quad b=-\cfrac{t-1}{t^3}$


(3)

　

$右図は \ t=0.8\ としたときの図である。$

$\vec{OP}=(-t^3,\ t^3),\quad \vec{OQ}=(t-2,\ t)\quad だから$

\begin{eqnarray*} \cos \theta &=&\cfrac{\vec{OP}\cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}||\vec{OQ}|}\\ \\ &=&\cfrac{-t^3(t-2)+ t^3 \times t}{\sqrt{2}t^3 \times \sqrt{2(t^2-2t+2)}}\\ \\ &=&\cfrac{2t^3}{2t^3 \sqrt{t^2-2t+2}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{\sqrt{t^2-2t+2}}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \sin ^2\theta &=&1- \cos ^2 \theta\\ \\ &=&1-\cfrac{1}{t^2-2t+2}\\ \\ &=&\cfrac{t^2-2t+1}{t^2-2t+2}\\ \\ &=&\cfrac{(1-t)^2}{t^2-2t+2}\\ \end{eqnarray*}
$1-t > 0 \quad t^2-2t+2=(1-t)^2+1 > 0 \quad だから$

$\sin \theta=\cfrac{1-t}{\sqrt{t^2-2t+2}}$


(4)


\begin{eqnarray*} S &=&\cfrac{1}{2}OP \cdot OQ \cdot \sin \theta\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}|z| \cdot |w|\cdot \sin \theta\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times \sqrt{2}t^3 \times \sqrt{2(t^2-2t+2)} \times \cfrac{1-t}{\sqrt{t^2-2t+2}}\\ \\ &=&t^3(1-t) \end{eqnarray*}

(5)

　

$S=t^3-t^4$

$S'=3t^2-4t^3=t^2(3-4t)$

$S'=0 \quad より \quad t=\cfrac{3}{4}$

$増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \dfrac{3}{4} & \cdots & 1\\ \hline S'& & + & 0 & - & \\ \hline S& & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$t=\cfrac{3}{4}\ で \ S\ は極大かつ最大となり、最大値は \quad S=\big(\cfrac{3}{4}\big)^3(1-\cfrac{3}{4}\big)=\cfrac{27}{256}$


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