埼玉大学(理系) 2021年　問題3


$数列 \ \{a_n\}\ と \ \{b_n\}\ は次を満たすとする。b_1=2a_1,\ \ b_n=a_1+\cdots +a_{n-1}+2a_n\ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_n=2n^2-1\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ のとき、数列 \ \{b_n\}\ の一般項を求めよ。$
$(2)\ \ b_n=3\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ のとき、数列 \ \{a_n\}\ の一般項を求めよ。$
$(3)\ \ b_n=4n+1\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ のとき、数列 \ \{a_n\}\ の一般項を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ b_n=(a_1+\cdots +a_{n-1}+a_n) + a_n \ \ ととらえます。$
$(2)\ \ 和が与えられた数列の一般項を求める問題です。$
$(3)\ \ (2)と同様ですが、隣接 \ 2\ 項間の漸化式を解くことになります。$


(1)


$\quad a_1=2 \times 1^2-1=1 \qquad \therefore \ \ b_1=2a_1=2$

$\quad n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots のとき$

\begin{eqnarray*} b_n &=&a_1+\cdots +a_{n-1}+2a_n\\ &=&\sum _{k=1}^na_k+a_n\\ &=&\sum _{k=1}^n(2k^2-1)+2n^2-1\\ &=&\cfrac{1}{3}n(n+1)(2n+1)-n + 2n^2-1\\ &=&\cfrac{1}{3}n(n+1)(2n+1)+ (n-1)(2n+1)\\ &=&\cfrac{1}{3}(2n+1)\{n(n+1)+3(n-1)\}\\ &=&\cfrac{1}{3}(2n+1)(n^2+4n-3)\\ \end{eqnarray*} $ここで、n=1\ \ とおくと \quad b_1=\cfrac{1}{3} \times 3 \times (1+4-3)=2$

$よって \quad b_n=\cfrac{1}{3}(2n+1)(n^2+4n-3)\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$


(2)


$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots \ \ のとき$

$\quad S_n=a_1+\cdots +a_n \quad とおくと \quad b_n=a_1+\cdots +a_{n-1}+2a_n =S_n+a_n$

$\quad b_n=3 \quad だから \quad S_n+a_n=3$

$\quad n \longrightarrow n-1 \quad とおくと \quad S_{n-1}+a_{n-1}=3$

$辺々引いて \quad (S_n-S_{n-1})+(a_n-a_{n-1})=0$

$\quad S_n-S_{n-1}=a_n \quad だから \quad 2a_n -a_{n-1}=0$

$\quad a_n=\cfrac{1}{2}a_{n-1}$

$\quad b_1=2a_1=3 \quad より \quad a_1=\cfrac{3}{2} \quad よって \quad a_n=\cfrac{3}{2}\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}=\cfrac{3}{2^n}$

$ここで \quad n=1 \quad おくと \quad a_1=\cfrac{3}{2}$

$したがって \quad a_n=\cfrac{3}{2^n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$


(3)


$(2)と同様にして \quad n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots \ \ のとき$

$\quad S_n+a_n=4n+1$

$\quad n \longrightarrow n+1 \quad とおくと \quad S_{n+1}+a_{n+1}=4(n+1)+1$

$辺々引いて \quad (S_{n+1}-S_n) + (a_{n+1}-a_n)=4$

$\quad S_{n+1}-S_n=a_{n+1} \quad だから \quad 2a_{n+1} -a_n=4$

$\quad a_{n+1}=\cfrac{1}{2}a_n+2$

$特性方程式 \quad t=\cfrac{1}{2}t+2 \quad を解いて \quad t=4$

$\quad a_{n+1}-t=\cfrac{1}{2}(a_n-t) \quad より$

$\quad a_{n+1}-4=\cfrac{1}{2}(a_n-4)$

$\quad b_1=2a_1 \quad より \quad 4+1=2a_1 \quad a_1=\cfrac{5}{2}$

$\quad a_n-4=(a_1-4)\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}$

$\quad a_n=-\cfrac{3}{2}\big(\cfrac{1}{2}\big)^{n-1}+4=-\cfrac{3}{2^n}+4$

$ここで \quad n=1 \quad とおくと \quad a_1=-\cfrac{3}{2}+4=\cfrac{5}{2}$

$よって \quad a_n=-\cfrac{3}{2^n}+4 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$



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