四元数群
3 四元数群の正規部分群
$(1)\ \ Gの位数2の部分群$
\[ \begin{array}{c|c c} \times &e&p\\ \hline e&e&p\\ p&p&e\\ \end{array} \] $H=\{e,\ p\}\ \ は\ \ p^2=e \ \ を満たすから部分群で$
$\quad Ha=\{a,pa\},\quad aH=\{a,ap\}=\{a,pa\} \ \ だから \ \ Ha=aH$
$\quad Hb=\{b,pb\},\quad bH=\{b,bp\}=\{b,pb\} \ \ だから \ \ Hb=bH$
$\quad Hc=\{c,pc\},\quad cH=\{c,cp\}=\{c,pc\} \ \ だから \ \ Hc=cH$
$したがって、HはGの正規部分群で$
$\qquad G/H=\{H,\ Ha,\ Hb,\ Hc\}$
$と剰余類に類別でき$
$\qquad G=H+Ha+Hb+Hc$
$G/Hにおける乗法を\ \ (Ha)(Hb)=H(ab) \ \ で定めると$
\[ \begin{array}{c|c c c c} \ \times \ &\ H\ &\ Ha\ &\ Hb\ &\ Hc\ \\ \hline \ H\ & H & Ha & Hb & Hc\ \\ \ Ha\ & Ha & H & Hc & Hb\ \\ \ Hb\ & Hb & Hc & H & Ha\ \\ \ Hc\ & Hc & Hb & Ha & H\ \\ \end{array} \] $これは、位数4の四元群である。$
$(2)\ \ 位数4の部分群$
$\quad $(i)$\quad I=\{e,\ p,\ a,\ pa\}$
\[ \begin{array}{c|c c c} \ \times \ &\ e\ &\ p\ &\ a\ &\ pa\ \\ \hline \ e\ & e & p & a & pa\\ \ p\ & p & e & pa & a\\ \ a\ & a & pa & p & e\\ \ pa\ & pa & a & e & p\\ \end{array} \]
$I\ はGの部分群で$
$p=a^2,\quad pa=a^2a=a^3 \ \ だから \ \ I=\{e,\ a,\ a^2,\ a^3\}\ \ となり、巡回群であることがわかります。$
$また$
$\quad I\ b=\{b,\ pb,\ c,\ pc\},\quad b\ I=\{b,\ pb,\ pc,\ c\} \ \ だから \ \ I\ b=b\ I\ \ となり、I\ はGの正規部分群です。$
$したがって、G/I=\{I,Ib\} \ \ と剰余類に類別でき、$
$\hspace{3em} G=I+I\ b$
$G/I \ における乗法を\ \ (I\ a)(I\ b)=I(ab) \ \ で定めると$
\[ \begin{array}{c|c c} \times &I & I\ b\\ \hline I& I& I\ b\\ I\ b& I\ b & I\\ \end{array} \] $これは、位数2の群である。$
$なお、(1)(2)の群は因子群、剰余群、商群などとよばれています。$
$\quad $(ii)$\quad J=\{e,\ p,\ b,\ pb\},\quad K=\{e,\ p,\ c,\ pc\}\ \ について$
\[ \begin{array}{c|c c c} \ \times \ &\ e\ &\ p\ &\ b\ &\ pb\ \\ \hline \ e\ & e & p & b & pb\\ \ p\ & p & e & pb & b\\ \ b\ & b & pb & p & e\\ \ pb\ & pb & b & e & p\\ \end{array} \hspace{3em} \begin{array}{c|c c c} \ \times \ &\ e\ &\ p\ &\ c\ &\ pc\ \\ \hline \ e\ & e & p & c & pc\\ \ p\ & p & e & pc & c\\ \ c\ & c & pc & p & e\\ \ pc\ & pc & c & e & p\\ \end{array} \]
$J,KはGの部分群で、J=\{e,\ b,\ b^2,\ b^3\},\quad K=\{e,\ c,\ c^2,\ c^3\}$
$とも表されるので、これらは巡回群になります。$
$\quad Jc=\{c,\ pc,\ p,\ e\},\quad cJ=\{c,\ pc,\ p,\ e\} \ \ だから \ \ Jc=cJ \ \ となりJはGの正規部分群です。$
$したがって、\quad G/J=\{J,\ Jc\} \ \ と剰余類に類別でき、$
$\hspace{3em} G=J+Jc$
$また$
$\quad Ka=\{a,\ pa,\ b,\ pb\},\quad aK=\{a,\ pa,\ pb,\ b\}\ \ だから \ \ Ka=aK \ \ となりKはGの正規部分群で、$
$したがって、G/K=\{K,\ Ka\} \ \ と剰余類に類別でき、$
$\hspace{3em} G=K+Ka$
$G/J,\ \ G/K\ における乗法を\ G/H \ と同様に定めると$
\[ \begin{array}{c|c c} \times &J & Jc\\ \hline J& J& Jc\\ Jc& Jc & J\\ \end{array} \hspace{5em} \begin{array}{c|c c} \times &K & Ka\\ \hline K& K& Ka\\ Ka& Ka & K\\ \end{array} \]
$G/H\ 同様、位数2の群となります。$
$(3)\ \ 組成列$
$群Gとその部分群 \ I,\ Hについて$
$\quad I=\{e,\ p,\ a,\ pa\}\ \ はGの正規部分群であり、H=\{e,p\}\ \ は\ I\ の正規部分群である。$
$このような正規部分群の列$
$\hspace{3em} G \supset I \supset H$
$を組成列といいます。$
四元数群メニュー に戻る
メインメニュー に戻る