四元数群


2　 行列のつくる四元数群


\[ P= \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) =-E \quad は \] (i)$\quad P^2=E \ \ を満たす。$
(ii)$\quad 任意の行列$ \[ \qquad A= \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \ \ に対して \quad PA=(-E)A=-A \] $したがって、Pは行列Aに左からかけることでAの符号を変える働きがある。$

$iを虚数単位として$

$(1)$
\[ M_1= \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) ,\quad M_2= \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{array} \right) ,\quad M_3= \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{array} \right) \quad とおくと \]
\[ PM_1=-M_1= \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right) ,\quad PM_2=-M_2= \left( \begin{array}{rr} -i & 0 \\ 0 & i \\ \end{array} \right) ,\quad PM_3=-M_3= \left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ -i & 0 \\ \end{array} \right) \]
$これらは$

$\qquad M_1^2=M_2^2=M_3^2=P$
$\qquad M_1M_2=M_3,\quad M_2M_3=M_1,\quad M_3M_1=M_2$

$を満たから$

$\qquad G_1=\{E,\ P,\ M_1,\ PM_1,\ M_2,\ PM_2,\ M_3,\ PM_3\}$

$は、積に関して四元数群になります。$


$(2)$
\[ N_1= \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right) ,\quad N_2= \left( \begin{array}{rr} 0 & -i \\ -i & 0 \\ \end{array} \right) ,\quad N_3= \left( \begin{array}{rr} -i & 0 \\ 0 & i \\ \end{array} \right) \quad とおくと \]
\[ PN_1=-N_1= \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) ,\quad PN_2=-N_2= \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{array} \right) ,\quad PN_3=-N_3= \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{array} \right) \]
$これらは$

$\quad N_1^2=N_2^2=N_3^2=P$
$\quad N_1N_2=N_3,\quad N_2N_3=N_1,\quad N_3N_1=N_2$

$を満たすから$

$\qquad G_2=\{E,\ P,\ N_1,\ PN_1,\ N_2,\ PN_2,\ N_3,\ PN_3\}$

$は、積に関して四元数群になります。$


$これで、GとG_1,あるいはGとG_2は同じ構造すなわち同型対応であることがわかりました。$

$つまり \qquad G \simeq G_1,\quad G \simeq G_2$



　

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