四元数群
1 四元数群
$集合 \ G=\{e,\ p,\ a,\ pa,\ b,\ pb,\ c,\ pc\} \ の元の間に、p^2=e,\ \ a^2=b^2=c^2=p,\ \ ab=c,\ \ bc=a,\ \ ca=b \ \ の関係がある。$
$結合律のみ成りたつとして、積の表を完成させましょう。$
$単位元が何かや閉じているかどうかの情報はありません。$
$ですから、この表を埋めるのは案外骨が折れます。$
$いい暇つぶしになりますので、パズルを解く感覚でやりましょう。$
\[ \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ e\ &\ p\ &\ a\ &\ pa\ &\ b\ &\ pb\ &\ c\ &\ pc\ \\ \hline \ e\ & & & & & & & & \\ \ p\ & & e & pa & & pb & & pc & \\ \ a\ & & & p & & c & & & \\ \ pa\ & & & & & & & & \\ \ b\ & & & & & p & & a & \\ \ pb\ & & & & & & & & \\ \ c\ & & & b & & & & p & \\ \ pc\ & & & & & & & & \\ \end{array} \]
$ちなみに、私の解答を載せます。$
$(1)\quad a列$
$ea=ppa=b^2c^2a=b(bc)(ca)=b(ab)=bc=a$
$(pa)a=pa^2=pp=e$
$ba=b(bc)=b^2c=pc$
$(pb)a=(a^2b)a=a(ab)a=a(ca)=ab=c$
$(pc)a=p(ca)=pb$
$(2)\quad b列$
$eb=ppb=c^2a^2b=c(ca)(ab)=c(bc)=ca=b$
$(pa)b=p(ab)=pc$
$(pb)b=pb^2=pp=e$
$cb=c(ca)=c^2a=pa$
$(pc)b=b^2cb=b(bc)b=b(ab)=bc=a$
$(3)\quad c列$
$ec=ppc=a^2b^2c=a(ab)(bc)=a(ca)=ab=c$
$ac=a(ab)=a^2b=pb$
$(pa)c=c^2(ac)=c(ca)c=c(bc)=ca=b$
$(pb)c=p(bc)=pa$
$(pc)c=pc^2=pp=e$
$ここからは、a列、b列、c列や直前に求めた結果も使います。$
$(4)\quad p列$
$ep=ea^2=(ea)a=aa=p$
$ap=ab^2=(ab)b=cb=pa$
$(pa)p=p(ap)=p(pa)=p^2a=ea=a$
$bp=bc^2=(bc)c=ac=pb$
$(pb)p=p(bp)=p(pb)=p^2b=eb=b$
$cp=ca^2=(ca)a=ba=pc$
$(pc)p=p(cp)=p(pc)=p^2c=ec=c$
$(5)\quad pa列$
$e(pa)=(ep)a=pa$
$p(pa)=p^2a=ea=a$
$a(pa)=(ap)a=(pa)a=pa^2=pp=e$
$(pa)(pa)=p(ap)a=p(pa)a=p^2a^2=ep=p$
$b(pa)=(bp)a=(pb)a=p(ba)=p(pc)=p^2c=ec=c$
$(pb)(pa)=p(bp)a=p(pb)a=p^2(ba)=e(pc)=(ep)c=pc$
$c(pa)=(cp)a=(pc)a=p(ca)=pb$
$(pc)(pa)=p(cp)a=p(pc)a=p^2(ca)=eb=b$
$(6)\quad pb列$
$e(pb)=(ep)b=pb$
$p(pb)=p^2b=eb=b$
$a(pb)=(ap)b=(pa)b=p(ab)=pc$
$(pa)(pb)=p(ap)b=p(pa)b=p^2(ab)=ec=c$
$b(pb)=(bp)b=(pb)b=pb^2=pp=e$
$(pb)(pb)=p(bp)b=p(pb)b=p^2b^2=ep=p$
$c(pb)=(cp)b=(pc)b=p(cb)=p(pa)=p^2a=ea=a$
$(pc)(pb)=p(cp)b=p(pc)b=p^2(cb)=e(pa)=pa$
$(7)\quad pc列$
$e(pc)=(ep)c=pc$
$p(pc)=p^2c=ec=c$
$a(pc)=(ap)c=(pa)c=p(ac)=p(pb)=p^2b=eb=b$
$(pa)(pc)=p(ap)c=p(pa)c=p^2(ac)=e(pb)=pb$
$b(pc)=(bp)c=(pb)c=p(bc)=pa$
$(pb)(pc)=p(bp)c=p(pb)c=p^2(bc)=ea=a$
$c(pc)=(cp)c=(pc)c=pc^2=pp=e$
$(pc)(pc)=p(cp)c=p(pc)c=p^2c^2=ep=p$
$(8)\quad e列$
$ee=ep^2=e(pp)=e(a^2b^2)=(ea)(ab)b=a(cb)=aa=e$
$pe=a^2p^2=a(ap)p=a(pa)p=(ap)(ap)=(pa)(pa)=p$
$ae=ap^2=(ap)p=(pa)p=a$
$(pa)e=p(ae)=pa$
$be=bp^2=(bp)p=(pb)p=b$
$(pb)e=p(be)=pb$
$ce=cp^2=(cp)p=(pc)p=c$
$(pc)e=p(ce)=pc$
\[ \begin{array}{c|c c } \ \times \ &\ e\ &\ p\ &\ a\ &\ pa\ &\ b\ &\ pb\ &\ c\ &\ pc\ \\ \hline \ e\ & e & p & a & pa & b & pb & c & pc\\ \ p\ & p & e & pa & a & pb & b & pc & c\\ \ a\ & a & pa & p & e & c & pc & pb & b\\ \ pa\ & pa & a & e & p & pc & c & b & pb\\ \ b\ & b & pb & pc & c & p & e & a & pa\\ \ pb\ & pb & b & c & pc & e & p & pa & a\\ \ c\ & c & pc & b & pb & pa & a & p & e\\ \ pc\ & pc & c & pb & b & a & pa & e & p\\ \end{array} \]
$この表から、演算はただ1通りに決まり$
(i)$\ \ 演算について閉じている$
(ii)$\ \ 単位元は\ e$
(iii)$\ \ 逆元は次のとおり、各元に対してただ1通りに決まる。$
\[ \qquad \begin{array}{c|c c} \ 元 \ \ &\ e\ &\ p\ &\ a\ &\ pa\ &\ b\ &\ pb\ &\ c\ &\ pc\ \\ \hline \ 逆元 \ \ & e & p & pa & a & pb & b & pc & c\\ \end{array} \]
$これらのことから、Gは群となることがわかります。これを「四元数群」といいます。$
$(注)「四元群」は位数4の群で、これとは別ものです。$
$なお、四元数は4次元ベクトルの基本ベクトルで、後日記述する予定です。$
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