量子力学の基礎
１ 波を表わす式
$波の代表として正弦波を考えましょう。$
$速度vで進む波は、t時間後には元の位置から距離\ vt\ 進むので、$
$\qquad y=a\sin k(x-vt) \hspace{25em}(1-1)$
$とおけます。ここに、aは振幅、kは波数とよばれ、波長を\lambda とすると$
$2\pi の区間の中に波長\lambda の波が\ \ k=\cfrac{2\pi}{\lambda}\ 個入っています。$
$周波数（振動数）を\nu ,周期をTとすると \ \ \nu =\cfrac{1}{T}$
$周波数に波長をかけると、単位時間あたりの移動距離、すなわち速度となるから$
$\qquad v=\lambda \ \nu =\cfrac{\lambda}{T}$
$よって \qquad kv=\cfrac{2\pi}{\lambda} \times \cfrac{\lambda}{T}=\cfrac{2\pi}{T}=2\pi \nu=\omega $
$ここに \omega は2\pi 時間当たりの周波数で角周波数とよばれています。$
$(1-1)式は \omega を使うと y=a\sin (kx-\omega t) \ \ と表せます。$
$オイラーの関係式 e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta \ \ を使うと$
$波の式は y=ae^{i(kx-\omega t)} \ \ の虚部になります。$
$ここからは、量子力学っぽく、文字を整えて$
$\qquad \psi=Ae^{i(kx-\omega t)} \hspace{27em}(1-2)$
$これが波を表す方程式です。$
$\qquad 波を表す方程式 \hspace{4em} \psi=Ae^{i(kx-\omega t)} $
2 シュレディンガー方程式
$1900年、プランクは、光のエネルギーは\ E=h\nu \ (hはプランク定数、\nuは振動数)で表される$
$\hspace{4em}と提唱した。$
$1905年、アインシュタインは,金属に光を当てると電子が飛び出てくる光電効果から、光は$
$\hspace{4em}波ではなく、エネルギー\ E=h\nu \ をもった光量子である(光量子仮説)と考え、$
$1916年、光子の運動量 \ p=\cfrac{h}{\lambda} \ (\lambda は波長)を提唱した。$
$1923年、コンプトンは金属にX線をあてると、波長が長くなったX線が得てくる$
$\hspace{4em}コンプトン効果を発見し、光子の運動量pが実験的に確認された。$
$その後、ド・ブロイは元々粒子と考えられていた電子などが物質波という波の性質を$
$もつと提唱した。$
$このようにして、波動性と粒子性の2つの性質をもつ量子の新しい力学として量子力学が生まれ、$
$シュレディンガーは、ニュートンの運動方程式に変わる、シュレディンガー方程式を導いた。$
$それでは、どうすれば導けるのか考えてみましょう。$
$\qquad \hbar = \cfrac{h}{2\pi} \ \ とおくと$
$\qquad E=h\nu=\hbar(2\pi\nu)=\hbar \omega \hspace{23em}(2-1)$
$\qquad p=\cfrac{h}{\lambda} =\cfrac{2\pi\hbar}{\lambda}=\hbar k \hspace{24em}(2-2)$
$粒子性の式(2-1),(2-2) を波を表す式(1-2)に代入すると$
$\qquad \psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}=Ae^{i(px-Et)/\hbar} \hspace{18em}(2-3)$
$(2-3)をxで偏微分して\quad \cfrac{\partial}{\partial x}\psi=\cfrac{ip}{\hbar}\psi \hspace{18em}(2-4)$
$もう一度xで偏微分して \quad \cfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi =\cfrac{ip}{\hbar}\cfrac{\partial}{\partial x}\psi=-\cfrac{p^2}{\hbar ^2}\psi \hspace{12em}(2-5)$
$(2-3)をtで偏微分して \quad \cfrac{\partial}{\partial t}\psi =-\cfrac{iE}{\hbar}\psi \hspace{18em}(2-6)$
$これらの偏微分を対応で考えると$
$(2-4)は \quad \cfrac{\partial}{\partial x}=\cfrac{ip}{\hbar} の両辺に\psi を作用させたものだから$
$\qquad p=\cfrac{\hbar}{i}\cfrac{\partial}{\partial x}=-i\hbar \cfrac{\partial}{\partial x} \hspace{25em}(2-7)$
$(2-6)は \quad \cfrac{\partial}{\partial t} =-\cfrac{iE}{\hbar} の両辺に\psi を作用させたものだから$
$\qquad E=-\cfrac{\hbar}{i}\cfrac{\partial}{\partial t}=i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t} \hspace{25em}(2-8)$
$となります。pとEをこのように表現するともはや物理量でなく微分演算子となります。$
$ここからが重要ポイントとなります。$
$(1)\ 量子が外力を受けないで運動する場合$
$\quad 運動エネルギー\ E(このEは粒子性を表している)は$
$\qquad E=\cfrac{1}{2}mv^2=\cfrac{(mv)^2}{2m}=\cfrac{p^2}{2m}$
$\quad 左辺に(2-8)に代入して$
$\qquad i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}=\cfrac{p^2}{2m} \hspace{28em}(2-9)$
$\quad (2-5)の両辺に -\cfrac{\hbar ^2}{2m} をかけて$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi &=& -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \big(-\cfrac{p^2 }{\hbar ^2}\psi \big)\\ &=&\cfrac{p^2 }{2m}\psi \\ &=&i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}\psi \hspace{23em}(2-10)\\ \end{eqnarray*}
$(2)\ 量子がポテンシャルV(x)を受けて運動する場合$
$\quad 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和がエネルギーEとなるから$
$\qquad \cfrac{1}{2m}p^2+V=E$
$\quad (2-7)より p^2=\big(-i\hbar \cfrac{\partial}{\partial x}\big)\big( -i\hbar \cfrac{\partial}{\partial x}\big)=-\hbar ^2 \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2} $
$\quad これと(2-8)を代入して$
$\qquad -\cfrac{1}{2m}\hbar ^2 \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2} +V =i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}$
$\quad \psi を作用させて$
$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi +V\psi =i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}\psi \hspace{22em}(2-11)$
$これを時間を含むシュレディンガー方程式といい、解を波動関数といいます。$
$ここで、微分方程式の解法でよく使う手ですが、変数のxとtを分離するために$
$\qquad \psi(x,t)=\varphi(x)\tau(t)$
$とおきます。すると(2-11)式は$
$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \tau(t)\cfrac{d^2}{dx^2}\varphi(x) +V\varphi(x)\tau(t) =i\hbar \varphi(x)\cfrac{d}{dt}\tau(t)$
$両辺を\ \varphi(x)\tau(t) \ \ で割って$
$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m\varphi(x)}\cfrac{d^2}{dx^2}\varphi(x) +V=\cfrac{i\hbar}{\tau (t)}\cfrac{d}{dt}\tau(t)$
$左辺はxの式、右辺はtの式と変数分離できたから等号が成り立つのは両辺とも定数のときです。$
$その値をEとすると$
$左辺の式から$
$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m\varphi(x)}\cfrac{d^2}{dx^2}\varphi(x) +V=E$
$\qquad -\cfrac{\hbar ^2}{2m}\cfrac{d^2 }{dx^2}\varphi(x) +V\varphi(x) =E\varphi(x)$
$\qquad \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}+V \big)\varphi(x) =E\varphi(x) \hspace{19em}(2-12)$
$これを時間に依存しないシュレディンガー方程式といいます。$
$この式の左辺から、分離定数をEとした物理的意味がわかり、それはエネルギーを表すということです。$
$また、右辺の式から$
$\qquad \cfrac{i\hbar}{\tau (t)}\cfrac{d}{dt}\tau(t)=E$
$\qquad \cfrac{d\tau(t)}{\tau(t)}=\cfrac{E}{i\hbar}dt \ \ より \qquad log \ \tau(t) =\cfrac{E}{i\hbar}t=-\cfrac{iE}{\hbar}t$
$\qquad \therefore \tau(t)=e^{-iEt/\hbar}$
$これは波の方程式の時間成分そのものです。$
$\hspace{2em} 時間に依存しないシュレディンガー方程式$
$\hspace{5em} \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}+V \big)\varphi =E\varphi$
3 波動関数の確率解釈
$シュレディンガー方程式の解である波動関数\varphi の意味は、量子がある時刻tに、ある位置(x,y,z)において$
$微小体積dVの領域に存在する確率が\ |\varphi(x,y,z,t)|^2dV\ であると解釈されています。$
$|\varphi(x,y,z,t)|^2 を確率と述べている量子力学の本も見受けられますが、数学的には、$
$これは確率密度関数であって、ある領域を積分することによって確率が得られるわけです。$
$確率であるならば、標本空間の確率は1であるから、全空間における積分をとると$
\[\int _V |\varphi|^2dV=1\] $となります。量子力学ではこれを「規格化条件」といっています。$
$また、確率密度関数ならば \quad x \rightarrow \pm \infty \ \ とすると \varphi \rightarrow 0 \ \ となります。$
4 固有関数・固有値
$(2-7),(2-8)で、\qquad p=-i\hbar \cfrac{\partial}{\partial x} ,\qquad E=i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t}\ \ を微分演算子といいましたが、$
$今後物理量と演算子を区別するために$
$\qquad \hat p=-i\hbar \cfrac{\partial}{\partial x} ,\qquad \hat E=i\hbar \cfrac{\partial}{\partial t} $
$と書きます。$
$(2-12) \qquad \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}+V \big)\varphi(x) =E\varphi(x) \ \ についても$
$\qquad \hat H=-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}+V \ \ とかき、ハミルトニアンといいます。$
$\hat Hを使うと、シュレディンガー方程式は \hat H\varphi =E\varphi \ \ と簡単に記述できます。$
$ところで、線形代数で、行列Aとスカラー\lambda \ に対して \ \ A \vec x =\lambda \vec x \ \ のとき、$
$\lambda をAの固有値、\vec xを固有ベクトルといいました。$
$そこで、量子力学でも$
$\quad 演算子 \hat A に対し \qquad \hat A u=au$
$\quad を満たす関数uと実数aが存在するとき、uを\hat Aの固有関数、aを固有値といいます。$
$\quad この式の意味は、波動関数uで表される状態において、演算子\hat Aで表される物理量Aを$
$\quad 測定すると測定値aとして固有値a_1,a_2,\cdots のどれか一つが確率p_nで得られると解釈します。$
5 束縛状態
$位置エネルギーV(x)に窪みがある場合、波動関数\varphi(x)はこの窪みの中とその近くにしか存在$
$できません。これを束縛状態といいます。量子がこの状態にあるときは、エネルギー固有値は$
$連続な値はとれずに、離散的になります。$
$定理$
$束縛状態にある量子の、あるエネルギー固有値に対応する波動関数は、1次元シュレディンガー$
$方程式では1つしかない。$
(証明)
$あるエネルギー固有値Eに対応する波動関数が\varphi_1,\varphi_2の2つが得られたとすると$
$-\cfrac{\hbar ^2}{2m}\cfrac{d^2 }{dx^2}\varphi_1(x) =(E-V)\varphi_1(x)$
$-\cfrac{\hbar ^2}{2m}\cfrac{d^2 }{dx^2}\varphi_2(x) =(E-V)\varphi_2(x)$
$辺々で割って$
$\cfrac{\varphi_1''(x)}{\varphi_2''(x)}=\cfrac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}$
$分母を払って$
$\varphi_1''(x)\varphi_2(x) - \varphi_1(x) \varphi_2''(x)=0$
$(\varphi_1'(x)\varphi_2(x) - \varphi_1(x) \varphi_2'(x))'=0$
$\varphi_1'(x)\varphi_2(x) - \varphi_1(x) \varphi_2'(x) =C \hspace{2em}(Cは定数)$
$束縛状態では、x \rightarrow \pm \infty \ \ のとき \varphi(x) \rightarrow 0 \ \ だから\ \ C=0$
$\cfrac{\varphi_1'(x)}{\varphi_1(x)}=\cfrac{\varphi_2'(x)}{\varphi_2(x)}$
$積分して log \ \varphi_1(x)=log \ \varphi_2(x)+C(積分定数)$
$\therefore \varphi_1(x)=A\varphi_2(x)$
$となり、\varphi_1(x)と\varphi_2(x)は定数倍の違いだけで、実質同じ関数である。$
6 重ね合わせの原理
$波動関数\ \varphi_1,\ \varphi_2,\ \cdots,\ \varphi_n \ について$
$\qquad c_1\varphi_1+c_2\varphi_2+\cdots + c_n\varphi_n=0 \ \ ならば \ \ c_1=c_2=\cdots =c_n=0 $
$のとき、独立(ベクトルでは一次独立といいました)といいます。$
$一般に、n個の独立な波動関数 \varphi_1,\ \varphi_2,\ \cdots,\ \varphi_n で作った線形結合$
$\quad \varphi =c_1\varphi_1+c_2\varphi_2+\cdots + c_n\varphi_n \ \ も一つの波動関数となります。$
$これを重ね合わせの原理といいます。$
7 内積
$１次元空間で考えることにして、実数xの複素関数 \psi,\ \varphi において$
\[\langle \psi , \varphi \rangle= \int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \varphi dx\] $を \psi と \varphi の内積といいます。ただし、\psi ^* \ は\ \psi \ の共役複素数です。$
$定理1 \quad 線形性$
(i)$\ \langle \psi , c_1\varphi_1+c_2\varphi_2 \rangle = c_1\langle \psi ,\varphi_1 \rangle+c_2\langle \psi ,\varphi_2 \rangle$
$(証明)$
\[左辺= \int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* (c_1\varphi_1+c_2\varphi_2) dx=c_1\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \varphi_1dx +c_2\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \varphi_2dx=右辺\]
(ii)$\ \langle c_1\psi_1+c_2\psi_2 , \varphi \rangle = c_1^* \langle \psi_1 , \varphi \rangle+c_2^* \langle \psi_2 , \varphi \rangle$
$(証明)$
\[左辺= \int _{-\infty}^{+\infty} (c_1\psi_1+c_2\psi_2)^* \varphi dx=c_1^*\int _{-\infty}^{+\infty} \psi_1 ^* \varphi dx +c_2^* \int _{-\infty}^{+\infty} \psi_2 ^* \varphi dx=右辺\]
$定理2 \quad 共役性$
$\quad \langle \psi , \varphi \rangle ^*= \langle \varphi, \psi \rangle$
$(証明)$
\[\langle \psi , \varphi \rangle ^*= \int _{-\infty}^{+\infty} (\psi ^* \varphi)^* dx = \int _{-\infty}^{+\infty} \varphi ^* \psi dx = \langle \varphi , \psi \rangle \]
$定理3 \quad 直交性$
$固有関数\{\varphi_n\}\ (n=1,2,\cdots)は$
\[\langle \varphi_m , \varphi_n \rangle =\int _{-\infty} ^{+\infty} \varphi _m ^* \varphi _n dx= \left\{ \begin{array}{l} 0 \hspace{3em} (m \neq n )\\ 1 \hspace{3em} (m =n )\\ \end{array} \right. \] $を満たすとし、完全正規直交系をなすといいます。$
$このように、固有関数 \ \varphi \ は内積が定義された無限次元ベクトル空間となりますから、$
$ヒルベルト空間となります。$
$定理4 \quad \varphi = c_1\alpha _1 +c_2 \alpha _2 +\cdots +c_n \alpha_n \ \ のとき$
(i)$\ \langle \alpha _k , \varphi \rangle =c_k$
$(証明)$
\begin{eqnarray*} \langle \alpha _k , \varphi \rangle &=&\langle \alpha _k , c_1\alpha _1 +c_2 \alpha _2 +\cdots +c_n \alpha_n \rangle\\ &=&c_1 \langle \alpha _k , \alpha _1\rangle +c_2 \langle \alpha _k , \alpha _2 \rangle + \cdots + c_n \langle \alpha _k , \alpha _n \rangle \\ &=&c_k \langle \alpha _k , \alpha _k\rangle\\ &=&c_k\\ \end{eqnarray*}
(ii)\[\langle \varphi , \varphi \rangle =\sum _{k=1}^n |c_k|^2\]
$(証明)$
\begin{eqnarray*} \langle \varphi , \varphi \rangle &=&\langle \sum _{k=1}^n c_k\alpha_k ,\sum _{j=1}^n c_j\alpha_j \rangle\\ &=&\sum _{k=1}^n \sum _{j=1}^n c_k^* c_j \langle \alpha_k , \alpha_j \rangle\\ &=&\sum _{k=1}^n c_k^* c_k \langle \alpha_k , \alpha_k \rangle\\ &=&\sum _{k=1}^n |c_k|^2
\end{eqnarray*} \[なお、規格化条件より左辺=1 \ \ だから \sum _{k=1}^n |c_k|^2=1\]
8 エルミート演算子
$2つの演算子 \hat A,\hat Bと波動関数 \psi ,\varphi に対して$
$\qquad \langle \psi , \hat A\varphi \rangle =\langle \hat A^* \psi , \varphi \rangle $
$がなりたつとき \hat A^* を\hat Aのエルミート共役演算子といいます。$
$とくに、\hat A^*=\hat A のときエルミート演算子といいます。このとき$
$\qquad \langle \psi , \hat A\varphi \rangle =\langle \hat A \psi , \varphi \rangle $
$定理1\quad エルミート演算子は線形演算子である$
$(証明)$
\begin{eqnarray*} \langle \psi ,(c_1\hat A+c_2\hat B)\varphi \rangle &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* (c_1\hat A+c_2\hat B)\varphi)dx\\ &=&c_1\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \hat A\varphi dx+c_2 \int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \hat B\varphi dx\\ &=&c_1\langle \psi ,\hat A\varphi \rangle +c_2\langle \psi ,\hat B\varphi \rangle\\ \end{eqnarray*}
$定理2 \quad エルミート演算子の固有値は実数$
$(証明)$
$\quad \hat A\varphi = a\varphi \ \ より \ \ \langle \psi , \hat A\varphi \rangle =\langle \psi , a\varphi \rangle =a\langle \psi| \varphi \rangle $
$一方、Aはエルミート演算子だから$
$\quad \langle \psi , \hat A\varphi \rangle =\langle \hat A\psi , \varphi \rangle =\langle a\psi, \varphi \rangle =a^* \langle \psi , \varphi \rangle$
$よって a^*=a \ \ となりaは実数$
$例1 \quad 運動量演算子はエルミート演算子である$
$\quad 運動量演算子は \ \ \hat p=-i\hbar \cfrac{d}{dx} \ \ だから \ \ \hat p^*=i\hbar \cfrac{d}{dx} $
\begin{eqnarray*} \langle \psi , \hat p\varphi \rangle &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \hat p\varphi dx\\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \big(-i\hbar \cfrac{d}{dx}\big)\varphi dx\\ &=&-i\hbar \int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \cfrac{d}{dx}\varphi dx\\ &=&-i\hbar \bigl[\phi ^* \varphi \bigr] _{-\infty}^{+\infty} +i\hbar \int _{-\infty}^{+\infty} \big(\cfrac{d}{dx}\psi ^* \big) \varphi dx\\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \big(i\hbar \cfrac{d}{dx}\psi ^* \big) \varphi dx\\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \hat p ^* \psi ^* \varphi dx\\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} (\hat p \psi )^* \varphi dx\\ \\ &=&\langle \hat p \psi , \varphi \rangle \\ \end{eqnarray*}
$例2 \quad ハミルトニアンはエルミート演算子である$
$\quad \hat H=-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}+V \ \ で\ \ \hat A=-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2},\ \ \hat B=V \ \ とおくと$
(i)$\ 演算子\hat Aについて$
\begin{eqnarray*} \langle \psi , \hat A\varphi \rangle &=&\langle \psi , -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2} \varphi \rangle \\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2}{dx^2}\varphi \big)dx\\ &=&\Bigl[\phi ^* \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d}{dx}\varphi \big) \Bigr] _{-\infty}^{+\infty} + \int _{-\infty}^{+\infty} \cfrac{d}{dx}\psi ^* \big(\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d}{dx}\varphi \big) dx\\ &=&0+\int _{-\infty}^{+\infty} \cfrac{d}{dx}\psi ^* \big(\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d}{dx}\varphi \big) dx\\ &=&\Bigl[\cfrac{d}{dx}\phi ^* \cfrac{\hbar ^2}{2m} \varphi \Bigr] _{-\infty}^{+\infty} - \int _{-\infty}^{+\infty} \cfrac{d^2}{dx^2}\psi ^* \cfrac{\hbar ^2}{2m} \varphi dx\\ &=&0+ \int _{-\infty}^{+\infty} \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m}\cfrac{d^2}{dx^2}\psi ^* \varphi dx\\ &=&\langle -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2} \psi , \varphi \rangle\\ &=&\langle \hat A\psi , \varphi \rangle\\ \end{eqnarray*} $\quad よって、演算子\hat Aはエルミート演算子である。$
(ii)$\ 演算子Bについて$
\begin{eqnarray*} \langle \psi , \hat B\varphi \rangle &=&\langle \psi , V\varphi \rangle \\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} \psi ^* V\varphi dx\\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} V\psi ^* \varphi dx\\ &=&\int _{-\infty}^{+\infty} (V\psi) ^* \varphi dx\\
&=&\langle V\psi , \varphi \rangle \\
&=&\langle \hat B\psi , \varphi \rangle\\ \end{eqnarray*} $\quad よって、演算子\hat Bはエルミート演算子である。$
$ゆえに、定理1より\ \ \hat H=\hat A+\hat B \ \ はエルミート演算子である。$
9 期待値
$ある物理量Aの演算子\hat Aで固有状態を測定し、測定値a_nが得られるとすると$
$\qquad \hat A \varphi_n = a_n \varphi_n \ \ (n=1,2,\cdots )$
$状態 \varphi は重ね合わせの原理から無限次元の線形結合$
$\qquad \varphi =c_1\varphi_1+c_2\varphi_2+\cdots $
$で表されますから$
\begin{eqnarray*} \hat A \varphi &=&\hat A \sum _{n=1} ^{\infty} c_n \varphi_n\\ &=&\sum _{n=1} ^{\infty} c_n (\hat A\varphi_n)\\ &=&\sum _{n=1} ^{\infty} c_n (a_n\varphi_n)\\ \end{eqnarray*} $左から \varphi ^* をかけて積分すると$
\begin{eqnarray*} \int _{-\infty} ^{+\infty} \varphi ^* \hat A \varphi dx &=&\int _{-\infty} ^{+\infty} \varphi ^* \sum _{n=1} ^{\infty} c_n a_n\varphi_ndx\\ &=&\int _{-\infty} ^{+\infty} \sum _{m=1} ^{\infty} c_m^*\varphi_m ^* \sum _{n=1} ^{\infty} c_n a_n\varphi_ndx\\ &=&\sum _{m=1} ^{\infty} \sum _{n=1} ^{\infty}c_m^* c_n a_n \int _{-\infty} ^{+\infty} \varphi_m ^* \varphi_ndx\\ &=&\sum _{n=1} ^{\infty} c_n^* c_n a_n \int _{-\infty} ^{+\infty} \varphi_n ^* \varphi_ndx\\ &=&\sum _{n=1} ^{\infty} |c_n|^2 a_n\\ \end{eqnarray*}
$これは、異なる固有状態 \varphi_1,\ \varphi_2,\ \cdots \ の重ね合わせの状態\varphi で、\hat A を測定したとき、$
$測定値 a_1,\ a_2,\ \cdots を得る確率は |c_1|^2,\ |c_2|^2,\ \cdots であることを示しています。$
$右辺はa_n が確率|c_n|^2をとったときの期待値(平均値)を表しています。$
$そこで、一般に、ある物理量の演算子 \hat A の期待値 \ \langle \hat A \rangle \ は$
\[\langle \hat A \rangle =\int _{-\infty}^{+\infty} \varphi ^*(x) \hat A \varphi(x)dx =\langle \varphi , A\varphi \rangle\] $で定義されています。$
$\quad 物理量Aの演算子 \hat A の期待値 \ \langle \hat A \rangle \ は$
\[\quad \langle \hat A \rangle =\int _{-\infty}^{+\infty} \varphi ^*(x) \hat A \varphi(x)dx =\langle \varphi , A\varphi \rangle \]
$例えば、量子がポテンシャルを受けずに運動する場合の、時間を含まないシュレディンガー$
$方程式$
$\hspace{5em} -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}\varphi =E\varphi$
$の両辺に左から共役な複素数 \ \varphi ^* をかけて積分すると$
\[\int _{-\infty}^{+\infty} \varphi ^*(x) \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2}{dx^2}\big)\varphi(x)dx =E\int _{-\infty}^{+\infty} \varphi ^*(x) \varphi(x)dx\] $右辺は規格化条件よりEとなるので$
\[E=\int _{-\infty}^{+\infty} \varphi ^*(x) \big(-\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}\big)\varphi(x)dx\] $これは運動エネルギー -\cfrac{\hbar ^2}{2m} \cfrac{d^2 }{dx^2}の期待値がEとなることを示しています。$
10 不確定性原理
$(1)交換子$
$2つの演算子\hat A,\ \hat Bに対して [\hat A,\hat B]=\hat A \hat B-\hat B \hat A \ \ を交換子といいます。$
$\hat Aと\hat Bが交換可能(可換といいます)ならば、\hat A \hat B=\hat B \hat A ですから,[A,B]=0 となりますが、$
$非可換ならば [\hat A,\hat B] \ne 0 です。$
$例１ 位置演算子と運動量演算子は可換かどうか調べてみましょう。$
$\quad \hat Aを位置演算子、\hat Bを運動量演算子,任意の波動関数を\varphi として交換子を求めます。$
\begin{eqnarray*} \hat A \hat B\varphi - \hat B \hat A\varphi &=&x(-i\hbar \cfrac{d}{dx})\varphi -(-i\hbar \cfrac{d}{dx})x\varphi\\ &=&-i\hbar x\cfrac{d}{dx}\varphi +i\hbar (\varphi +x\cfrac{d}{dx}\varphi)\\ &=&i\hbar \varphi\\ \end{eqnarray*}
$\therefore [x,-i\hbar \cfrac{d}{dx}]=i\hbar となって非可換であることがわかりました。$
$(2)不確定性原理$
$非可換な2つの演算子 \hat A,\hat Bについて、[A,B]=i\hbar ,\ 測定値をA,B,\ 期待値をa,bとすると$
$\quad \langle \hat A \rangle=a,\quad \langle \hat B \rangle=b$
$\quad \langle (\hat A-a)\varphi , (\hat B -b)\varphi \rangle =\kappa +i\lambda \hspace{21em}(1)$
$の両辺の共役複素数をとると$
$\quad \langle (\hat A-a)\varphi , (\hat B -b)\varphi \rangle ^*=\kappa -i\lambda $
$\quad \therefore \langle (\hat B-b)\varphi , (\hat A -a)\varphi \rangle =\kappa -i\lambda \hspace{20em}(2)$
$(1)より \quad \langle \varphi , (\hat A-a)(\hat B -b)\varphi \rangle =\kappa +i\lambda $
$(2)より \quad \langle \varphi , (\hat B-b)(\hat A -a)\varphi \rangle =\kappa -i\lambda $
$辺々引いて$
$\langle \varphi , (\hat A-a)(\hat B -b)\varphi -(\hat B-b)(\hat A -a)\varphi \rangle =2i\lambda $
$\langle \varphi , (\hat A \hat B -\hat B \hat A )\varphi \rangle =2i\lambda $
$\hat A \hat B - \hat B \hat A ＝i\hbar \ \ とおいたから$
$\langle \varphi , i\hbar \varphi \rangle =2i\lambda $
$i\hbar \langle \varphi , \varphi \rangle =2i\lambda $
$i\hbar =2i\lambda $
$\therefore \lambda =\cfrac{\hbar}{2}$
$一方、測定値Aの偏差 A-a の2乗の平均 \ \langle (A-a)^2 \rangle \ は統計用語では分散といい、その正の$
$平方根を標準偏差といいますが、測定値のばらつきの程度をあらわしています。$
$これを\Delta A とおくと$
\begin{eqnarray*} (\Delta A)^2 &=&\langle (A-a)^2 \rangle\\ &=&\langle \varphi , (A-a)^2 \varphi \rangle\\ &=&\langle (A-a) \varphi , (A-a) \varphi \rangle\\ &=&|(A-a) \varphi |^2\\ \end{eqnarray*} $同様にして (\Delta B)^2 =|(B-b) \varphi |^2$
$内積についてのコーシー・シュワルツの不等式をつかって$
\begin{eqnarray*} (\Delta A)^2\ (\Delta B)^2 &=&|(A-a)\varphi |^2\ |(B-b)\varphi |^2\\ & \geqq & |\langle (A-a) \varphi , (B-b) \varphi \rangle |^2\\ &=&\kappa ^2+\lambda ^2\\ & \geqq & \lambda ^2 \\ &=&\big(\cfrac{\hbar }{2}\big)^2\\ \end{eqnarray*} $したがって (\Delta A) (\Delta B) \geqq \cfrac{\hbar }{2} $
$これをハイゼンベルグの不確定性原理といいますが、AとBの測定値のばらつきの積は非可換な2つの$
$演算子 \hat A,\hat Bについて、[A,B]=i\hbar \ \ ならば\ \ \cfrac{\hbar }{2} \ 程度は避けられないことを示しています。$
$ですから、位置を正しく測定しようとすると運動量はある広がりをもった値しか得られません。$
$位置と運動量を同時に正確に測定することは技術的でなく、原理的に不可能だということです。$
$これも量子力学とニュートン力学の大きな違いです。$
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