太陽を質点と考えてもよい理由


1 はじめに


$太陽と惑星の間に作用する万有引力は、十分な大きさがあるにもかかわらず、質点という$
$扱いをする。$
$太陽の質量が1点に集中していると考えることは、ブラックホールでもあるまいし困惑する。$
$しかし、高校以来深く考えることもなくそういうものだと頭に浸み込んでいた。$
$そこで、本当に質点でよいのか考えてみましょう。$

2 万有引力のポテンシャル


$太陽と惑星の間に働く引力Fは中心に向かう中心力であり、その大きさは2つの中心間の$
$距離rのみの関数であるから、万有引力は保存力である。保存力にはポテンシャルが定義される。$

$一般にポテンシャルU(r)は$
\[U(r)=-\int _{r{_0}} ^r F(r)dr \hspace{15em}(1)\] $で定義される。ただし、r_0 は基準点である。$

$万有引力は \ \ F(r)=-G\cfrac{Mm}{r^2}\ \ だから、万有引力のポテンシャルは$
\[U(r)=\int _{r{_0}} ^r G\cfrac{Mm}{r^2} =-GMm \Bigl[\ \cfrac{1}{r}\ \Bigr] _{r{_0}} ^r =-GMm \big(\cfrac{1}{r} -\cfrac{1}{r_0}\big)\] $基準点を無限遠方でとると、r_0 \rightarrow +\infty  として$

$\qquad U(r)=-G \cfrac{Mm}{r} \hspace{17em}(2)$

$これが、万有引力ポテンシャルです。$
$力はベクトルですが、ポテンシャルはスカラーです。$


3 大きさを考慮した太陽のポテンシャル

 
$太陽の密度は一様ではないが、球対称であると考えると$
$密度は中心からの距離rの関数としてあらわされるから、$
$それを \rho (r) \ \ とおく。$

$太陽の半径をaとし、太陽内の点Pの位置を球面極座標を$
$つかって\quad P(r,\theta , \varphi) \ \ と表す。$
$ただし、0 \leqq r \leqq a,\quad 0 \leqq \theta \leqq \pi , \quad 0 \leqq \varphi \leqq 2\pi $

$この点から、dr,d\theta , d\varphi \ \ 増加させた領域の微小体積dVは$
$\qquad dV=r^2\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi $
$であるからこの微小領域の質量は$
$\qquad dM=\rho(r)dV=r^2\rho(r)\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi $

 
$z軸上で、太陽の中心OからR離れた位置に質量mの$
$惑星(質点)Qをおく。$
$PQ=s \ \ として、△OPQに余弦定理を用いると$
$\qquad s^2=R^2+r^2-2Rr\cos \theta $

$点Pを含む微小領域のポテンシャルは(2)より$
\begin{eqnarray*} dU&=&-G\ dM\ m\ \cfrac{1}{s}\\ &=&-Gr^2\rho(r)\sin \theta \ dr\ d\theta \ d\varphi \ m\ \cfrac{1}{s}\\ &=&-Gm\cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta}}dr\ d\theta \ d\varphi \\ \end{eqnarray*} $したがって、太陽全体のポテンシャルは$
\[U=-Gm\int _0 ^a dr \int _0 ^\pi d\theta \int _0 ^{2\pi}d\varphi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta}}dr\ d\theta \ d\varphi \] \[ここで、 \int _0 ^{2\pi}d\varphi =2\pi  だから\] \[U=-2\pi Gm\int _0 ^a \int _0 ^\pi \cfrac{r^2\rho(r)\sin \theta }{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta}}dr\ d\theta \] $\cfrac{d}{d\theta}\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta} =\cfrac{Rr\sin \theta }{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta}}  に注意して\ \theta \ の積分をとると$
\[\int _0 ^\pi \cfrac{\sin \theta }{\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta}}d\theta\] \begin{eqnarray*} &=&\cfrac{1}{Rr}\Bigl[\sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos \theta }\Bigr] _0 ^\pi\\ &=&\cfrac{1}{Rr}\big(\sqrt{R^2+r^2+2Rr}-\sqrt{R^2+r^2-2Rr}\big)\\ &=&\cfrac{1}{Rr}\big((R+r)-(R-r)\big)\\ &=&\cfrac{2}{R}\\ \end{eqnarray*} \[\therefore U=-4\pi \cfrac{Gm}{R} \int _0 ^a r^2\rho(r)dr =-G \cfrac{m}{R} \int _0 ^a 4\pi r^2\rho(r)dr\] \[\quad \int _0 ^a 4\pi r^2\rho(r)dr =M \ \ であるから (この積分は、厚さdrの球殻を集めたもの)\] $\qquad U=-G\cfrac{Mm}{R} \quad となって、太陽を質点とみ なしたときのポテンシャルに一致します。$

$(1)より F=-\cfrac{\partial U}{\partial r}=-G\cfrac{Mm}{R^2}  だから 万有引力も一致します。$

$上で、惑星Qを質点とおいたが、これも大きさがあるはずです。$
$しかし、今度は太陽を質点と考えた同様の議論で惑星Qを質点としたポテンシャルに$
$一致することがわかります。$





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