整式におけるxの意味
1 整式の順序対による表現
$Rを単位元 \ e\ をもつ可換環とし、a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n \ \ をRの元とする。（簡単にRは実数と考えてよい)$
$\qquad a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_nx^n$
$をxについての整式(多項式)といいますが、このxの意味について考えてみましょう。$
$xが表に出ないようにこの整式に$
$\qquad a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_nx^n \quad \longleftrightarrow \quad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n)$
$のように順序対を対応させます。$
$さらに、今後の展開を考えて、Rの元の可付番列 \ \ (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ \cdots )\ \ 全体の集合を考え、$
$その部分集合を$
$\qquad P=\{(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ \cdots )\ |\ a_i \in R,\ a_j=0 \ \ ( \ j > n )\}$
$とします。すなわち a_nに続いて無限個の0を付加するのですが、その理由は積の定義のときにわかります。$
$すなわち、対応$
$\qquad a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_nx^n \quad \longleftrightarrow \quad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$を考え、(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )\ \ 全体の集合 \ P\ を考えることにするわけです。$
$次に集合 \ P\ に演算を定義します。$
$(1)\ \ 加法$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots , \ b_m,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )=(a_0+b_0,\ a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ \cdots ,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$(2)\ \ 乗法$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )\ \cdot\ (b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots , \ b_m,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\hspace{2em}=(a_0b_0,\ a_0b_1+a_1b_0,\ a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0,\ \cdots , \ \ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$このとき$
$(1)\ \ 加法と乗法について明らかに閉じています。$
$(2)\ \ 加法と乗法について、交換法則、結合法則、分配法則が成りたちます。$
$\quad 例えば、n=m=1\ \ のときの乗法の結合法則は$
$\qquad \{(a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots )(b_0,\ b_1,\ 0,\ \cdots)\}(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)$
\begin{eqnarray*} &=&(a_0b_0,\ a_0b_1+a_1b_0,\ 0,\ \cdots )(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)\\ \\ &=&(a_0b_0c_0,\ a_0b_0c_1+(a_0b_1+a_1b_0)c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \\ &=&(a_0b_0c_0,\ a_0b_0c_1+a_0b_1c_0+a_1b_0c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \end{eqnarray*}
$\quad 一方$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots )\{(b_0,\ b_1,\ 0,\ \cdots)(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)\}$
\begin{eqnarray*} &=&(a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots)(b_0c_0,\ b_0c_1+b_1c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \\ &=&(a_0b_0c_0,\ a_0(b_0c_1+b_1c_0)+a_1b_0c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \\ &=&(a_0b_0c_0,\ a_0b_0c_1+a_0b_1c_0+a_1b_0c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \end{eqnarray*}
$\therefore \{(a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots )(b_0,\ b_1,\ 0,\ \cdots)\}(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)=(a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots )\{(b_0,\ b_1,\ 0,\ \cdots)(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)\}$
$\quad 例えば、n=m=1\ \ のときの分配法則は$
$\qquad \{(a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots )+(b_0,\ b_1,\ 0,\ \cdots)\}(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)$
\begin{eqnarray*} &=&(a_0+b_0,\ a_1+b_1,\ 0,\ \cdots )(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots)\\ \\ &=&((a_0+b_0)c_0,\ (a_0+b_0)c_1+(a_1+b_1)c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \\ &=&(a_0c_0+b_0c_0,\ a_0c_1+b_0c_1+a_1c_0+b_1c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \\ &=&(a_0c_0,\ a_0c_1+a_1c_0,\ 0,\ \cdots )+(b_0c_0,\ b_0c_1+b_1c_0,\ 0,\ \cdots )\\ \\ &=&(a_0,\ a_1,\ 0,\ \cdots )(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots )+(b_0,\ b_1,\ 0,\ \cdots )(c_0,\ c_1,\ 0,\ \cdots )\\ \end{eqnarray*}
$(3)\ \ 零元は\ \ (0,\ 0,\ \cdots )$
$(4)\ \ (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )\ \ の加法的逆元は$
$\qquad -(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )= (-a_0,\ -a_1,\ -a_2,\ \cdots , \ -a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$(5)\ \ 減法は$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )-(b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots , \ b_m,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\hspace{2em} =(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )+\{-(b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots , \ b_m,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )\}$
$\quad で定義されます。$
$以上で、(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )\ \ 全体の集合 \ P\ は環になることがわかりました。$
2 xの表現
$(1)\ \ (a,\ 0,\ 0,\ \cdots )\ \ の形の元$
$\qquad 加法は \quad (a,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(b,\ 0,\ 0,\ \cdots )=(a+b,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\qquad 乗法は \quad (a,\ 0,\ 0,\ \cdots )(b,\ 0,\ 0,\ \cdots )=(ab,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\quad したがって$
$\qquad (a,\ 0,\ 0,\ \cdots ) \quad \longleftrightarrow \quad 実数 \ a$
$\quad すなわち \ \ a^*=(a,\ 0,\ 0,\ \cdots ) \ \ は 実数 \ a\ と同一視することができます。$
$(2)\ \ (0,\ 1,\ 0,\ \cdots )\ \ の形の元$
$\quad 明らかにこの元は実数ではありません。そこで、これをxで表すことにし、不定元といいます。$
$\qquad x=(0,\ 1,\ 0,\ \cdots )$
$\quad x \times x=x^2 \ \ と表すと$
$\qquad x^2=(0,\ 1,\ 0,\ \cdots ) \times (0,\ 1,\ 0,\ \cdots )=(0,\ 0,\ 1,\ 0,\ \cdots )$
$これは、実数でも \ x\ でもありません。$
$\qquad x^3=x^2 \times x=(0,\ 0,\ 1,\ 0,\ \cdots ) \times (0,\ 1,\ 0,\ \cdots )=(0,\ 0,\ 0,\ 1,\ 0,\ \cdots )$
$これは、実数でもxでもx^2でもありません。$
$以下同様に計算できますので$
$\qquad x^n=(\underbrace{0,\ 0,\ \cdots ,\ 1}_{\substack{\large{n+1項目}}},\ 0,\ \cdots )$
$こうして$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n,\ 0,\ \cdots )$
\begin{eqnarray*} &=&(a_0,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(0,\ a_1,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(0,\ 0,\ a_2,\ 0,\ 0,\ \cdots )+\cdots\\ \\ &=&(a_0,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(a_1,\ 0,\ 0,\ \cdots )(0,\ 1,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(a_2,\ 0,\ 0,\ \cdots )(0,\ 0,\ 1,\ 0,\ 0,\ \cdots )+\cdots \\ \\ &=&a_0^*+a_1^*x+a_2^*x^2+\cdots \\ \end{eqnarray*}
$\qquad a_0^*,\ a_1^*,\ a_2^* \ \cdots \ \ は実数 \ a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots \ \ と同一視しますから$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n,\ 0,\ \cdots )=a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots +a_nx^n$
$となります。$
$加法については$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )+(b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots , \ b_m,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )=(a_0+b_0,\ a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ \cdots ,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\qquad でしたから$
$\qquad (a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots a_n x^n)+(b_0+b_1x+b_2x^2+ \cdots +a_m x^m)=a_0+b_0+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+ \cdots $
$乗法については$
$\qquad (a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots , \ a_n,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots ) \cdot (b_0,\ b_1,\ b_2,\ \cdots , \ b_m,\ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\hspace{4em} =(a_0b_0,\ a_0b_1+a_1b_0,\ a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0,\ \cdots , \ 0,\ 0,\ 0,\ \cdots )$
$\qquad でしたから$
$\qquad (a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots a_n x^n)\times (b_0+b_1x+b_2x^2+ \cdots a_m x^m)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+ \cdots $
$となり、おなじみの展開公式が得られます。$
$こうして、整式における \ x\ は実数とは全く別物であることがわかりました。$
$もちろん、x,x^2,x^3,\cdots も別物です。$
$なお、多項式環 \ R[x]\ の元\ A=a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots a_n x^n \ \ に対して$
$\qquad a_0+a_1\gamma+a_2 \gamma ^2+ \cdots a_n \gamma ^n \ \ \in R\ を\ A\ で \ x\ に\ \gamma \ を代入した値$
$といいます。A=f(x)\ \ とかいたとき、x\ に\gamma \ を代入して得られた元を \ f(\gamma)\ とかきます。$
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