大阪大学(理系)2017年前期 問題3

$a,b$を自然数とし、不等式(A) $\quad |\cfrac{a}{b}- \sqrt{7}| < \cfrac{2}{b^4}$ を考える。
次の問いに答えよ。
ただし、$2.645 < \sqrt{7} < 2.646 であること、\sqrt{7}$が無理数であることを用いてよい。
(1) 不等式(A)を満たし $b \geqq 2 \ である自然数a,b$に対して、
$\hspace{3em} |\cfrac{a}{b}+ \sqrt{7}| < 6$ であることを示せ。
(2) 不等式(A)を満たす自然数 $a,bの組のうち、b \geqq 2$ であるものをすべて求めよ。


解答の前に、少し解説します。
実数$\alpha を有理数 \cfrac{p}{q}$を用いて近似する方法をディオファントス近似といいますが、これに関連して、
次の重要な定理があります。

ディリクレの近似定理


$\quad \alpha を2次以上の実代数的無理数(有理数係数のn$次方程式(代数方程式)の実数解)とすると
$\quad (1) |\alpha - \cfrac{p}{q}| < \cfrac{1}{q^2}  を満たす正の整数p,q \ は無数存在する。$
$\quad (2) |\alpha - \cfrac{p}{q}| < \cfrac{1}{q^N}  を満たす正の整数p,q \ が存在する。$
   ただし、$q \leqq N \ (N は1$より大きい自然数)

証明は少々やっかいですので専門書をお読みください。

$また、違いがわかるように並べましたが、(1)は任意の実数(\pi や自然対数の底\ eなどの超越数を$
含めて)で成りたちます。
(2)はロス(K.F.Roth)の定理とよばれています。

 この問題は、小問(1)をヒントに、$N=4 \ $の場合の近似定理(2)が成り立つことを確認させる
問題です。
この小問(1)がなければ、まず小問(2)は解答できないでしょう。答えを知っている出題者だから
こそ作れた小問(1)です。

私なりの解答を付けますが、もちろんもっとうまい解答があると思います。

(1)


$- \cfrac{2}{b^4} < \cfrac{a}{b}- \sqrt{7} < \cfrac{2}{b^4}$  より  $2\sqrt{7}- \cfrac{2}{b^4} < \cfrac{a}{b}+ \sqrt{7} < 2\sqrt{7}+ \cfrac{2}{b^4}$
$b \geqq 2  だから  \cfrac{2}{b^4} \leqq \cfrac{2}{16}=\cfrac{1}{8}$
よって
$\quad \cfrac{a}{b}+ \sqrt{7} \geqq 2\sqrt{7} - \cfrac{1}{8} > 2 × 2.645 -\cfrac{1}{8}> 5.165$
$\quad \cfrac{a}{b}+ \sqrt{7} \leqq 2\sqrt{7} + \cfrac{1}{8} < 2 × 2.646 +\cfrac{1}{8}< 5.417$
$ \therefore 5.165 < \cfrac{a}{b}+ \sqrt{7} < 5.417$
したがって $|\cfrac{a}{b}+ \sqrt{7}| < 6$


(2)


$|\cfrac{a}{b}- \sqrt{7}| < \cfrac{2}{b^4}  と  |\cfrac{a}{b}+ \sqrt{7}| < 6$  の辺々をかけて
$|\cfrac{a^2}{b^2}- 7| < \cfrac{12}{b^4}$
$- \cfrac{12}{b^4} < \cfrac{a^2}{b^2}- 7 < \cfrac{12}{b^4}$
$7- \cfrac{12}{b^4} < \cfrac{a^2}{b^2} < 7 + \cfrac{12}{b^4}$
両辺に $b^2$  をかけて
$7b^2- \cfrac{12}{b^2} < a^2 < 7b^2 + \cfrac{12}{b^2}$

(i) $b=2$ のとき
$\hspace{2em} 28-\cfrac{12}{4} < a^2 < 28 + \cfrac{12}{4}$
$\hspace{2em} 25 < a^2 < 31$
$\hspace{2em}$ これを満たす自然数$\ a\ $はない。
(ii) $b=3$ のとき
$\hspace{2em} 63-\cfrac{12}{9} < a^2 < 63 + \cfrac{12}{9}$
$\hspace{2em} 64-\cfrac{1}{3} < a^2 < 64 + \cfrac{1}{3}$
$\hspace{2em}$ これを満たす自然数 $\ a\ は a=8$
(iii) $b \geqq 4$ のとき
$\hspace{2em} \alpha= \cfrac{12}{b^2}  とおくと  \alpha \leqq \cfrac{12}{16} < 1$
$\hspace{2em} 7b^2- \alpha < a^2 < 7b^2+\alpha$
$\hspace{2em} \therefore \ a^2=7b^2$
$\hspace{2em} a=\sqrt{7}b$
$\hspace{2em} a \neq 0  とすると \cfrac{b}{a}=\cfrac{1}{\sqrt{7}}=\cfrac{\sqrt{7}}{7}$
$\hspace{2em} \therefore \ \cfrac{7b}{a}=\sqrt{7}$
$\hspace{2em}$ 左辺は有理数、右辺は無理数だからこれは矛盾である。したがって $a=0$
$\hspace{2em}$ すると $b=0$  となり $b \geqq 4$  を満たさない。

以上より $a=8,b=3$


補足


仮定より $b \geqq 2$  で  近似定理(2)より $b \leqq 4$ だから $b=2,3,4$ のみが候補になります。
$a=8,b=3$ を設問に代入すると
$\hspace{2em} |\cfrac{8}{3}- \sqrt{7}|=0.02091 ,\ \cfrac{2}{3^4}=0.02469$
だから $\sqrt{7}$ の近似分数を $\cfrac{8}{3}$ としても誤差は $0.02$ 程度であることがわかります。

 



ページの先頭へ↑



メインメニュー に戻る