MY MATH NOTE

垂心

$\quad 定理 \quad 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした\ 3\ つの垂線は \ 1\ 点で交わる。$

　
$\qquad この点を三角形の$ 垂心 $という。$


$証明$

$\triangle ABC \ \ の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線を \ AD,\ BE,\ CF\ とし、$

$頂点 \ A,\ B,\ C\ を通ってそれぞれの対辺に平行な直線の交点を \ P,\ Q,\ R\ とする。$

　
$四角形 \ ABCQ\ と \ ACBR\ は平行四辺形だから \quad AQ=BC,\quad RA=BC$

$よって \quad 点 \ A\ は線分 \ QR\ の中点である。$

$また、BC /\!/RQ, \quad BC \perp AD \quad だから \quad RQ \perp AD$

$したがって \quad AD\ は \ QR\ の垂直二等分線である。$

$同様にして \quad BE,\ CF\ はそれぞれ \ RP,\ PQ\ の垂直二等分線となるからその交点は \ \ \triangle PQR \ の外心となる。$

$したがって、三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした\ 3\ つの垂線は \ 1\ 点で交わる。$

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