順序体
$高等学校において、不等式の導入や性質は数学Ⅰで学びますが、現行の内容たるや実に貧弱です。$
$私が高校１年のときは、公理という言葉はありませんでしたが(おそらく)、きちんと述べられていました。$
$そこで、不等式なるものをできるだけ数学的に考えていきましょう。$
1 順序体
$体(四則演算が可能な集合)Mの正(a>0 \ \ のこと)の元の性質がつぎのように定義されているとき、$
$これを順序体といいます。$
$順序体の公理$
$\quad Mの元aについて$
$\qquad (1)\ \ 三一律 \quad a=0,\ a>0,\ -a > 0 \ \ のうちのどれか1つだけが成りたつ。$
$\qquad (2)\ \ 加法性 \quad 2つの正の数の和は正である。\hspace{3em} a >0, \ \ b>0 \ \ ならば \ \ a+b >0$
$\qquad (3)\ \ 乗法性 \quad 2つの正の数の積は正である。\hspace{3em} a >0, \ \ b>0 \ \ ならば \ \ ab >0$
$(注)-a>0 \ \ のときは、aは負であるといい、a <0 \ \ とかく。$
2 不等式
$これ以降は、体として実数を考えることにします。$
$実数a,bについて、a-b\ \ は実数であるから次のように定義します。$
$不等式の定義$
$\hspace{8em} a-b > 0 \ \ \longleftrightarrow \ \ a > b $
$\quad なお、a>b \ \ は \ \ b < a \ \ ともかきます$
$性質$
$(1) \quad 推移律 \quad a>b ,\ \ b>c \ \ ならば \ \ a>c$
$\quad (証明)$
$\quad a>b \ \ より \ \ a-b>0$
$\quad b>c \ \ より \ \ b-c>0$
$\quad 公理(2)より\ \ (a-b)+(b-c) >0$
$\quad \therefore \ a-c>0 \ \ より \ \ a>c$
$(2) \quad 加法 \quad a>b \ \ ならば \ \ a+c>b+c$
$\quad (証明)$
$\quad a>b \ \ より \ \ a-b>0$
$\quad このとき、(a+c)-(b+c)=a-b >0$
$\quad よって a+c>b+c$
$(3) \quad 乗法 \quad a > b \ \ でかつ$
$\hspace{3em}$(i)$\ \ \ c >0 \ \ ならば \ \ ac > bc$
$\hspace{3em}$(ii)$\ \ c <0 \ \ ならば \ \ ac < bc$
$\quad (証明)$
$\quad a>b \ \ より \ \ a-b>0$
$\hspace{3em}$(i)$\ \ \ c>0 \ \ ならば 公理(3)より (a-b)c>0 \qquad ac-bc>0 \qquad よって \ \ ac >bc$
$\hspace{3em}$(ii)$\ \ c<0 \ \ ならば -c>0 \ \ だから公理(3)より \quad (a-b)(-c)>0$
$\hspace{5em} -ac+bc>0 \qquad bc-ac>0 \quad 公理(2)より \qquad bc > ac \quad すなわち \quad ac < bc $
$(4) \quad a < 0,\ \ b < 0 \ \ ならば \ \ a+b < 0,\quad ab > 0$
$\quad (証明)$
$\quad -a > 0,\quad -b > 0 \ \ だから$
$\quad 公理(2)より\qquad (-a)+(-b) > 0 \qquad -(a+b) > 0 \qquad \therefore \ a+b < 0$
$\quad 公理(3)より\quad (-a)(-b) > 0 \qquad ab > 0$
$(5) \quad a > 0,\ \ b < 0 \ \ ならば \ \ ab < 0$
$\quad (証明)$
$\quad -b > 0 \ \ だから公理(3)より \quad a(-b) > 0 \qquad -ab > 0 \qquad よって \quad ab < 0$
$(6) \ \ a \ne 0 \ \ ならば \ \ a^2 > 0$
$(証明)$
$\quad 公理(1)より \ \ a > 0 \quad または \quad -a > 0 \qquad すなわち \quad a < 0$
$\quad $(i)$a >0 \qquad のとき \ 公理(3)より \quad a \cdot a >0 \quad よって \quad a^2 >0$
$\quad $(ii)$-a > 0 \ \ のとき \ \ 公理(3)より \quad (-a)(-a) > 0 \quad よって \quad a^2 >0$
$\quad いずれにせよ \quad a^2 >0$
3 複素数体
$複素数体は順序体ではない$
$複素数体が順序体であるとすると$
$1つの元 \ i \ (虚数単位)について、順序体の公理(1)より$
$\qquad i = 0 ,\ \ i > 0,\ \ -i > 0 \ \ のうちのどれか1つだけが成りたつ。$
$\hspace{3em}$(i)$\ \ i=0 \ \ とすると \ \ i^2=0 \ \ であるが \ i の定義から i^2=-1 \ \ であるから矛盾する。$
$\hspace{3em}$(ii)$\ \ i > 0 \ \ または\ \ i < 0 \ \ とすると 性質6より \ \ i^2 > 0 \ \ であるが \ \ -1 > 0 \ \ となって矛盾する。$
$よって、複素数体は順序体ではない。$
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