大阪大学(理系) 2026年　問題4


$実数 \ xに対して \ \ f(x)=e^{-x}\cos x \ \ とする。ただし、e\ は自然対数の底である。$
$(1)\ \ 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ のとき、不等式 \ \ 1-x \leqq f(x) \leqq 1\ \ が成り立つことを示せ。$
\[(2)\ \ 0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ をみたす実数 \ a\ に対して \ \ I(a)=\int_0^a \dfrac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2} dx \ \ とするとき、 \lim_{a \rightarrow +0} I(a) \ \ を求めよ。\]


(1)


(i)$\ \ f(x) \leqq 1 \ \ の証明$

$\quad f(x)=e^{-x}\cos x \ \ より$

\begin{eqnarray*} \quad f'(x) &=&-e^{-x}\cos x -e^{-x}\sin x \\ \\ &=&-e^{-x}(\cos x + \sin x) \\ \\ &=&-\sqrt{2}e^{-x}\cos (x - \dfrac{\pi}{4}) \\ \end{eqnarray*}
$\quad 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\ \ より \ \ -\dfrac{\pi}{4} \leqq x-\dfrac{\pi}{4} \leqq \dfrac{\pi}{4} \ \ よって \quad \cos (x - \dfrac{\pi}{4}) > 0$

$\quad \therefore f'(x) < 0 \ \ だから \quad 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ において \ \ f(x)\ は単調減少$

$\quad f(x) \leqq f(0)=1 $


(ii)$\ \ 1-x \leqq f(x) \ \ の証明$

$\quad g(x)=f(x)-(1-x) \ \ とおくと$

$\quad g'(x)=-e^{-x}\cos x -e^{-x}\sin x +1$

$\quad g''(x)=(e^{-x}\cos x +e^{-x}\sin x )+(e^{-x}\sin x -e^{-x}\cos x)=2e^{-x}\sin x \geqq 0$

$\quad g'(x)\ は単調増加だから \quad g'(x) \geqq g'(0)=-1+1=0$

$\quad よって \ g(x) \ は単調増加だから \quad g(x) \geqq g(0)=1-1=0$

$\quad したがって \quad 1-x \leqq f(x)$


(2)


$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ において$

(i)$\ \ 0 < f(x) \leqq 1 , \quad x+a > 0 \ \ だから$

\[\quad I(a)=\int_0^a \dfrac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2} dx \leqq \int_0^a \dfrac{x+a}{x^2+a^2} dx =\int_0^a \big(\dfrac{x}{x^2+a^2}+\dfrac{a}{x^2+a^2}\big) dx \]
\[\quad \int_0^a \dfrac{x}{x^2+a^2}dx=\big[\dfrac{1}{2}\log (x^2+a^2)\big]_0^a=\dfrac{1}{2}(\log 2a^2-\log a^2)=\dfrac{1}{2}\log 2\]
\[\quad J=\int_0^a \dfrac{a}{x^2+a^2} dx \ \ は \quad x=a\tan \theta \ \ とおくと \quad dx=\dfrac{a}{\cos ^2\theta}d\theta \qquad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow a\quad \\ \hline \theta & 0 \ \ \rightarrow \dfrac{\pi}{4} \\ \end{array} \]
\[\quad J=\int _0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}} \dfrac{a}{a^2\tan \theta +a^2} \times \dfrac{a}{\cos ^2\theta} d\theta=\int _0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}} d\theta=\dfrac{\pi}{4}\]
$\quad よって \quad I(a) \leqq \dfrac{1}{2}\log 2 +\dfrac{\pi}{4}$


(ii)$\ \ f(x) \geqq 1-x , \quad x+a > 0\ \ だから$

\begin{eqnarray*} \quad I(a) &=&\int_0^a \dfrac{(x+a)f(x)}{x^2+a^2} dx\\ \\ &\geqq& \int_0^a \dfrac{(x+a)(1-x)}{x^2+a^2} dx \\ \\ &=& \int_0^a \dfrac{-x^2+(1-a)x+a}{x^2+a^2} dx \\ \\ &=& \int_0^a \big(-1+\dfrac{(1-a)x+a^2+a}{x^2+a^2}\big) dx \\ \\ &=& \int_0^a \big(-1+\dfrac{(1-a)x}{x^2+a^2}+\dfrac{a(a+1)}{x^2+a^2}\big) dx \\ \\ &=&\big[-x+\dfrac{1-a}{2}\log(x^2+a^2)\big]_0^a+(a+1)J\\ \\ &=&\big(-a+\dfrac{1-a}{2}\log 2a^2\big)-\dfrac{1-a}{2}\log a^2+(a+1) \times \dfrac{\pi}{4}\\ \\ &=&\big(-a+\dfrac{1-a}{2}(\log 2+2\log a -2\log a )+\dfrac{\pi}{4}(a+1) \\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\log 2 + \dfrac{\pi}{4}+\big(\dfrac{\pi}{4}-1-\dfrac{1}{2}\log 2\big)a \end{eqnarray*}
(i),(ii)$\ \ より$

$\dfrac{1}{2}\log 2 + \dfrac{\pi}{4}+\big(\dfrac{\pi}{4}-1-\dfrac{1}{2}\log 2\big)a \leqq I(a) \leqq \dfrac{1}{2}\log 2 +\dfrac{\pi}{4}$

$a \longrightarrow +0 \ \ とすると \quad 左辺 \longrightarrow \dfrac{1}{2}\log 2 + \dfrac{\pi}{4} \ \ だから$

\[はさみうちの原理により \quad \lim_{a \rightarrow +0} I(a)=\dfrac{1}{2}\log 2 + \dfrac{\pi}{4}\]

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