大阪大学(理系) 2026年　問題3


$a\ を実数とし、複素数 \ z\ に対して \ \ f(z)=\dfrac{(1-ai)z+(1+ai)\overline{z}}{2}\ \ とする。ただし、i\ は虚数単位、\overline{z} \ は \ z\ と$
$共役な複素数である。$
$(1)\ \ f(z)\ は実数であることを示せ。$
$(2)\ \ 実数 \ a\ に対して、|z|=1 \ \ かつ \ \ f(z)\big\{f(z)-f(i)-2\big\}=-2f(i)\ \ となるような複素数 \ z\ の個数を \ N(a)\ と$
$\quad する。N(a)\ を求めよ。$


(1)


$f(z)=\dfrac{(1-ai)z+(1+ai)\overline{z}}{2}\ \ に対して \quad \overline{f(z)}=\dfrac{(1+ai)\overline{z} +(1-ai)z}{2}=f(z)$

$f(z)=\overline{f(z)} \ \ だから\ \ f(z)\ は実数である。$


(2)


$f(z)=\dfrac{1}{2}\big((1-ai)z+(1+ai)\overline{z}\big) \ \ に対して $

$f(i)=\dfrac{1}{2}\big((1-ai)i+(1+ai)(-i)\big)=\dfrac{1}{2}\big(i+a)-(i-a)\big)=a　だから$

$f(z)\big\{f(z)-f(i)-2\big\}=-2f(i)\ \ は$

$f(z)\big\{f(z)-a-2\big\}=-2a$

$\big(f(z)\big)^2-(a+2)f(z)+2a=0$

$\big\{f(z)-2\big\}\big\{f(z)-a\big\}=0$

$f(z)=2,\quad a$

$z=p+qi \ \ (p,\ q\ は実数)\ \ とおくと \quad |z|=1 \ \ より \quad p^2+q^2=1 \hspace{5em}①$

$(ア)\ \ f(z)=2 \ \ のとき$

$\quad \dfrac{1}{2}\big((1-ai)z+(1+ai)\overline{z}\big) =2 $

$\quad (1-ai)z+(1+ai)\overline{z} =4$

$\quad (1-ai)(p+qi)+(1+ai)(p-qi) =4$

$\quad p\big((1-ai)+(1+ai)\big)+qi\big((1-ai)-(1+ai)\big)=4$

$\quad 2p+qi(-2ai)=4$

$\quad p=2-aq \hspace{5em}②$

$\quad ①に代入して$

$\quad (2-aq)^2+q^2=1$

$\quad (a^2+1)q^2-4aq+3=0$

$\quad \dfrac{D}{4}=(2a)^2-3(a^2+1)=a^2-3$

$\quad $(i)$\ \ a < -\sqrt{3},\ \ a > \sqrt{3}\ \ のとき \ \ D >\ 0\ \ だから \ q\ は異なる \ 2\ つの実数解$

$\qquad ①に代入して\ p\ も異なる実数だから \quad N(a)=2$

$\quad $(ii)$\ \ a =\pm \sqrt{3}\ \ のとき \ \ D=0 \ \ だから \ q\ は重複解$

$\qquad ①に代入して \ p\ も実数だから \quad N(a)=1$

$\quad $(iii)$\ \ -\sqrt{3} < a < \sqrt{3} \ \ のとき \ \ D < 0\ \ だから \ q\ は虚数解$

$\qquad N(a)=0$


$(イ)\ \ f(z)=a \ \ のとき$

$\quad \dfrac{1}{2}\big((1-ai)z+(1+ai)\overline{z}\big)=a$

$\quad (1-ai)(p+qi)z+(1+ai)(p-qi)=2a$

$\quad p\big((1-ai)+(1+ai)\big)+qi\big((1-ai)-(1+ai)\big)=2a$

$\quad 2p+qi(-2ai)=2a$

$\quad p=a(1-q) \hspace{5em}③$

$\quad ①に代入して$

$\quad a^2(1-q)^2+q^2=11$

$\quad (a^2+1)q^2-2a^2q+a^2-1=0$

$\quad \dfrac{D}{4}=a^4-(a^2+1)(a^2-1)=1$

$\quad よって \ \ q\ は異なる \ 2\ つの実数解$

$\quad ③に代入して\ p\ も異なる実数だから \quad N(a)=2$

$以上より$

$f(z)=2\ \ のとき$
\[ \quad N(a)= \left\{ \begin{array}{l} 2 \hspace{5em}(a >\sqrt{3},\ \ a < -\sqrt{3})\\ 1 \hspace{5em} (a=\pm \sqrt{3})\\ 0 \hspace{5em} (-\sqrt{3}< a < \sqrt{3})\\ \end{array} \right. \]
$f(z)=a \ \ のとき$

$\quad N(a)=2$


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