大阪大学(理系) 2026年 問題1
$座標平面において、y=x-x^3 \ で表される曲線を \ C\ とする。実数 \ s\ に対して、C\ 上の点 \ (s,\ s-s^3)\ における$
$C\ の接線を \ \ell_s \ で表す。t\ を \ 0 < t < 1\ をみたす実数とするとき、\ell_0 \ と \ \ell_1 \ の交点を\ P,\ \ell_0 \ と \ \ell_t \ の交点を \ Q、$
$\ell_1\ と \ \ell_t \ の交点を \ R\ とし、三角形 \ PQR\ の面積を \ S(t)\ とする。$
$(1)\ \ S(t)\ を \ ｔ\ の式で表せ。$
$(2)\ \ 実数 \ t\ が \ 0 < t < 1 \ の範囲を動くとき、S(t) \ を最大にする \ t\ の値と、S(t)\ の最大値を求めよ。$
(1)
$y=x-x^3 \ \ より \quad y'=1-3x^2$
$点 \ (s,\ s-s^3)\ における接線 \ \ell_s \ は$
$y=(1-3s^2)(x-s)+s-s^3$
$\therefore\ \ \ell_s : y=(1-3s^2)x+2s^3$
$よって$
$\ell_0: y=x$
$\ell_1: y=-2x+2$
$\ell_t: y=(1-3t^2)x+2t^3$
$\ell_0 \ と \ \ell_1 \ の交点を\ Pは \qquad x=-2x+2 \qquad x=\dfrac{2}{3} \qquad P(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{2}{3})$
$\ell_0 \ と \ \ell_t \ の交点を\ Qは \qquad x=(1-3t^2)x+2t^3 \qquad 3t^2x=2t^3 \qquad x=\dfrac{2t^3}{3t^2}=\dfrac{2t}{3} \qquad Q(\dfrac{2t}{3},\ \dfrac{2t}{3})$
$\ell_1 \ と \ \ell_t \ の交点を \ Rは$
$-2x+2=(1-3t^2)x+2t^3 \qquad 3(t^2-1)x=2(t^3-1) \qquad 3(t+1)(t-1)x=2(t-1)(t^2+t+1)$
$0 < t < 1 \ \ だから \quad 3(t+1)x=2(t^2+t+1) \qquad x=\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}$
$y=-2 \times \dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}+2=\dfrac{-2(2t^2+2t+2-3t-3)}{3(t+1)}=-\dfrac{2(2t^2-t-1)}{3(t+1)} \qquad R(\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}, \ -\dfrac{2(2t^2-t-1)}{3(t+1)}) $
$PQ^2=\big(\dfrac{2t}{3}-\dfrac{2}{3}\big)^2+\big(\dfrac{2t}{3}-\dfrac{2}{3}\big)^2=2\big(\dfrac{2t}{3}-\dfrac{2}{3}\big)^2$
$\therefore \ \ PQ=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}(1-t)$
$点\ R\ から直線 \ \ell_0 : x-y=0 \ \ に下ろした垂線の長さ \ h\ は、点\ R\ が \ \ell_0 \ の正領域にあるから$
\begin{eqnarray*}
h
&=&\dfrac{\dfrac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}+\dfrac{2(2t^2-t-1)}{3(t+1)}}{\sqrt{2}}\\
\\
&=&\dfrac{2(t^2+t+1) +2(2t^2-t-1)}{3\sqrt{2}(t+1)}\\
\\
&=&\dfrac{6t^2}{3\sqrt{2}(t+1)}\\
\\
&=&\dfrac{\sqrt{2}t^2}{t+1}
\end{eqnarray*}
$よって、三角形 \ PQR\ の面積 \ S(t)\ は$
\begin{eqnarray*}
S(t）
&=&\dfrac{1}{2} \times PQ \times h\\
\\
&=&\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3}(1-t) \times \dfrac{\sqrt{2}t^2}{t+1}\\
\\
&=&\dfrac{2t^2(1-t)}{3(1+t)}\\
\\
&=&\dfrac{2}{3} \times \dfrac{t^2-t^3}{1+t}\\
\end{eqnarray*}
(2)
$S(t)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{t^2-t^3}{1+t} \ \ より$
$S'(t)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{(2t-3t^2)(1+t)-(t^2-t^3)}{(1+t)^2}=-\dfrac{4}{3} \times \dfrac{t^3+t^2-t}{(1+t)^2}=-\dfrac{4}{3} \times \dfrac{t(t^2+t-1)}{(1+t)^2}$
$S'(t)=0 \ \ より \quad t^2+t-1=0 \quad 0 < t < 1 \ \ だから \quad t=\dfrac{-1+\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} & \cdots & 1\\ \hline S'(t)& & + & 0 & - & \\ \hline S(t)& & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]
$S(t)\ は \ \ t=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\ で極大かつ最大となり、最大値は \ \ S(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})$
$この値を求めるために \ S(t)\ の分子 \ t^3-t^2 \ を \ t^2+t-1 \ で割って商と余りを求めると$
$t^3-t^2=(t^2+t-1)(t-2)+3t-2 \ \ だから$
$S(t)=-\dfrac{2}{3} \times \dfrac{t^3-t^2}{1+t}=-\dfrac{2}{3} \times \dfrac{(t^2+t-1)(t-2)+3t-2}{1+t}$
$よって$
\begin{eqnarray*} & &S(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})\\ \\ &=&-\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3 \times \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-2}{1+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\ \\ &=&\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7-3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}\\ \\ &=&\dfrac{2}{3} \times \dfrac{(7-3\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{4}\\ \\ &=&\dfrac{2}{3} \times \dfrac{-22+10\sqrt{5}}{4}\\ \\ &=&\dfrac{5\sqrt{5}-11}{3}\\ \end{eqnarray*}
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