大阪大学(理系) 2023年　問題3


$P\ を座標平面上の点とし、点 \ P\ の座標を \ (a,\ b)\ とする。-\pi \leqq t \leqq \pi \ \ の範囲にある実数 \ t\ のうち$
$曲線 \ y=\cos x \ 上の点(t,\ \cos t)\ における接線が点 \ P\ を通るという条件をみたすものの個数をN(P)とする。$
$N(P)=4 \ \ かつ \ \ 0 < a < \pi \ \ をみたすような \ P\ の存在範囲を座標平面上に図示せよ。$


(1)

　

$y'=-\sin x \quad より \ \ T(t,\ \cos t)\ における接線は$

$\quad y=-\sin t(x-t)+\cos t$

$P(a,\ b)\ を通るから \quad b=-\sin t(a-t)+\cos t$

$\therefore \ \ b=(t-a)\sin t + \cos t$

$-\pi \leqq t \leqq \pi \ \ の範囲でこれを満たす実数解の個数は$

$f(t)=(t-a)\sin t + \cos t \quad とおくと$

$曲線 \ y=f(t)\ と直線 \ y=b\ の交点の個数に等しいから、この \ 2\ つのグラフを利用する。$

$N(P)=4 \ となるのは　曲線と直線が \ 4\ 点で交わるときである。$

$f'(t)=\sin t +(t-a)\cos t - \sin t=(t-a)\cos t$

$f'(t)=0 \ \ より \quad t=a,\ \ \pm \cfrac{\pi}{2}$

$極値は \quad f(a)=\cos a ,\quad f(-\cfrac{\pi}{2})=\cfrac{\pi}{2}+a , \quad f(\cfrac{\pi}{2})=\cfrac{\pi}{2}-a$

$端点は \quad f(-\pi)=-1,\quad f(\pi)=-1$

　

$(1)\quad 0 < a < \cfrac{\pi}{2} \quad のとき$

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & -\pi & \cdots & -\cfrac{\pi}{2} & \cdots & a & \cdots & \cfrac{\pi}{2} & \cdots & \pi\\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & -1 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow & -1\\ \end{array} \]
$グラフは右のとおりで、曲線と直線 \ t=b \ が \ 4\ 点で交わるのは$

$\quad \cos a < b < \cfrac{\pi}{2}-a \quad のとき$


$(2) \quad \cfrac{\pi}{2} < a < \pi \quad のとき$

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & -\pi & \cdots & -\cfrac{\pi}{2} & \cdots & \cfrac{\pi}{2} & \cdots & a & \cdots & \pi\\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & -1 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow & -1\\ \end{array} \]
$極小値 \ f(\cfrac{\pi}{2})\ と端点の値 \ f(\pm 1)\ の大小関係によってグラフが異なる。$

　

$(ア) \quad f(\cfrac{\pi}{2}) > f(\pm 1) \quad のとき$

$\quad \cfrac{\pi}{2} -a > -1 \ \ より \quad a < \cfrac{\pi}{2} +1$

$\quad \cfrac{\pi}{2} < a < \pi \ \ と合わせて \quad \cfrac{\pi}{2} < a <\cfrac{\pi}{2} +1 \quad のとき$

$\quad グラフは右のとおりで、曲線と直線 \ t=b\ が \ 4\ 点で交わるのは$

$\qquad \cfrac{\pi}{2}- a < b < \cos a \quad のとき$

　

$(イ)\quad f(\cfrac{\pi}{2}) < f(\pm 1) \quad のとき$

$\quad \cfrac{\pi}{2} -a < -1 \ \ より \quad \cfrac{\pi}{2} +1 < a$

$\quad \cfrac{\pi}{2} < a < \pi \ \ と合わせて \quad \cfrac{\pi}{2} +1 < a < \pi \quad のとき$

$\quad グラフは右のとおりで、曲線と直線 \ t=b\ が \ 4\ 点で交わるのは$

$\qquad -1 \leqq < b < \cos a \quad のとき$

$(ウ)\quad f(\cfrac{\pi}{2}) = f(\pm 1) \quad のとき$

$\quad \cfrac{\pi}{2} -a = -1 \ \ より \quad a=\cfrac{\pi}{2} +1 $

$\quad このとき、曲線と直線 \ t=b\ は \ 3\ 点で交わる。$


$(3) \quad a=\cfrac{\pi}{2} \quad のとき$

　

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & -\pi & \cdots & -\cfrac{\pi}{2} & \cdots & \cfrac{\pi}{2} & \cdots & \pi\\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & - & & \\ \hline f(t) & -1 & \nearrow & 極大 & \searrow & 変曲点 & \searrow & -1\\ \end{array} \]
$f''(t)=\cos t -(t-\cfrac{\pi}{2})\sin t \quad だから$

$t=\cfrac{\pi}{2}\ \ の近くで \ \ t < \cfrac{\pi}{2}\ \ のとき \ \ f''(t) > 0 , \ \ t > \cfrac{\pi}{2} \ \ のとき \ \ f''(t) < 0 $

$よって \quad t=\cfrac{\pi}{2}\ \ で変曲点となる。$

$グラフは右のとおりで、曲線と直線 \ t=b\ が \ 4\ 点で交わらない。$

　

$(1),(2),(3)より \ 点P(a,\ b)\ の存在範囲は右図のとおり$

$境界は \ \ b=-1 \ \ (\cfrac{\pi}{2}+1 < a < \pi)\ \ は含み、他の境界は含まない$


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