大阪大学(理系) 2023年　問題2


$平面上の \ 3\ 点 \ O,\ A,\ B\ が \ |2\vec{OA}+\vec{OB}|=|\vec{OA}+2\vec{OB}|=1\ かつ \ (2\vec{OA}+\vec{OB})\cdot (\vec{OA}+\vec{OB})=\cfrac{1}{3}\ をみたすとする。$
$(1)\ \ (2\vec{OA}+\vec{OB})\cdot (\vec{OA}+2\vec{OB})\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 平面上の点 \ P\ が \ \ |\vec{OP}-(\vec{OA}+\vec{OB})| \leqq \cfrac{1}{3}\ \ かつ \ \ \vec{OP} \cdot (2\vec{OA}+\vec{OB}) \leqq \cfrac{1}{3}\ \ をみたすように動くとき、$
$\quad |\vec{OP}| \ \ の最大値と最小値を求めよ。$


(1)


$\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b}\ \ とおく$

$|2\vec{OA}+\vec{OB}|=1 \quad より \quad |2\vec{a}+\vec{b}|^2=1 \qquad 4|\vec{a}|^2 +4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2=1 \hspace{5em}①$

$|\vec{OA}+2\vec{OB}|=1 \quad より \quad |\vec{a}+2\vec{b}|^2=1 \qquad |\vec{a}|^2 +4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2=1 \hspace{5em}②$

$(2\vec{OA}+\vec{OB})\cdot (\vec{OA}+\vec{OB})=\cfrac{1}{3} \quad より \quad (2\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})=\cfrac{1}{3} \qquad 2|\vec{a}|^2 +3\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2=\cfrac{1}{3} \hspace{5em}③$

$|\vec{a}|=p,\quad |\vec{b}|=q,\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=r \quad とおくと$

$①式は \quad 4p^2+q^2+4r=1 \hspace{5em}①'$

$②式は \quad p^2+4q^2+4r=1 \hspace{5em}②'$

$③式は \quad 2p^2+q^2+3r=\cfrac{1}{3} \hspace{5em}③'$

$この連立 \ 3\ 元 \ 2\ 次方程式を解けばよい$

$①' - ②' \quad より \quad 3p^2 -3q^2=0 \qquad p^2=q^2 \qquad p \geqq 0 ,\ \ q \geqq 0 \quad だから \quad 　p=q$

$①',③'に代入して$

$5p^2+4r=1 \hspace{5em}④$

$3p^2+3r=\cfrac{1}{3} \hspace{5em} ⑤$

$④ \times 3 - ⑤ \times 4 \quad 3p^2=\cfrac{5}{3} \qquad p^2=\cfrac{5}{9} \qquad p \geqq 0 \quad だから \quad 　p=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$

$④ \times 3 - ⑤ \times 5 \quad -3r=\cfrac{4}{3} \qquad r=-\cfrac{4}{9}$

$よって \quad |\vec{a}|=|\vec{b}|=\cfrac{\sqrt{5}}{3},\quad \vec{a} \cdot \vec{b}=-\cfrac{4}{9}$

$これらの値をつかって$
\begin{eqnarray*} & &(2\vec{OA}+\vec{OB})\cdot (\vec{OA}+2\vec{OB})\\ \\ &=&(2\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})\\ \\ &=&2|\vec{a}|^2 + 5\vec{a} \cdot \vec{b} +2|\vec{b}|^2\\ \\ &=&2 \times \cfrac{5}{9} + 5 \times \big(-\cfrac{4}{9}\big) + 2 \times \cfrac{5}{9} \\ \\ &=&0 \end{eqnarray*}

(2)


$\vec{OA}\ と \ \vec{OB}\ のなす角を \ \theta \ とおくと$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \quad より \quad \cos \theta=-\cfrac{4}{9} \times \cfrac{9}{5}=-\cfrac{4}{5},\qquad \sin \theta =\sqrt{1-\cos ^2 \theta}=\sqrt{1-(-\cfrac{4}{5})^2}=\cfrac{3}{5}$

$点 \ O\ を座標平面の原点、\vec{OA}\ の向きを \ x\ 軸の正方向でとると$

$\vec{a}=(\cfrac{\sqrt{5}}{3},\ 0)$

$\vec{b}=(\cfrac{\sqrt{5}}{3}\cos \theta,\ \cfrac{\sqrt{5}}{3}\sin \theta)=(\cfrac{\sqrt{5}}{3} \times (-\cfrac{4}{5}),\ \cfrac{\sqrt{5}}{3} \times \cfrac{3}{5})= (-\cfrac{4\sqrt{5}}{15},\ \cfrac{\sqrt{5}}{5})$

$\vec{OP}=(x,\ y) \ とおくと$

$\vec{OP}-(\vec{OA}+\vec{OB})=(x,\ y)-(\cfrac{\sqrt{5}}{3},\ 0)- (-\cfrac{4\sqrt{5}}{15},\ \cfrac{\sqrt{5}}{5})=(x-\cfrac{\sqrt{5}}{15},\ y-\cfrac{\sqrt{5}}{5})$

$|\vec{OP}-(\vec{OA}+\vec{OB})| \leqq \cfrac{1}{3} \quad より \quad (x-\cfrac{\sqrt{5}}{15})^2+ (y-\cfrac{\sqrt{5}}{5})^2 \leqq \cfrac{1}{9} \hspace{5em}①$

$2\vec{OA}+\vec{OB} =2(\cfrac{\sqrt{5}}{3},\ 0)+ (-\cfrac{4\sqrt{5}}{15},\ \cfrac{\sqrt{5}}{5})=(\cfrac{2\sqrt{5}}{5},\ \cfrac{\sqrt{5}}{5}) \quad だから$

$\vec{OP} \cdot (2\vec{OA}+\vec{OB}) \leqq \cfrac{1}{3} \quad より \quad \cfrac{2\sqrt{5}}{5}x+\cfrac{\sqrt{5}}{5}y \leqq \cfrac{1}{3} \qquad 2x+y \leqq \cfrac{\sqrt{5}}{3}　\hspace{3em}②$

　

$2 \times \cfrac{\sqrt{5}}{15} +\cfrac{\sqrt{5}}{5}=\cfrac{\sqrt{5}}{3} \quad だから\ \ この直線は円①の中心 \ C(\cfrac{\sqrt{5}}{15} ,\ \cfrac{\sqrt{5}}{5})\ を通る。$

$①,\ ②\ をみたす点 \ P\ は右図のとおりで境界を含む。$

(i)$\ \ |\vec{OP}| \ \ の最大値$

$\quad 円①と \ y\ 軸の交点 \ D,\ E\ は$

$\quad (-\cfrac{\sqrt{5}}{15})^2+ (y-\cfrac{\sqrt{5}}{5})^2=\cfrac{1}{9} $

$\quad (y-\cfrac{\sqrt{5}}{5})^2=\cfrac{1}{9} - \cfrac{1}{45}$

$\quad y=\cfrac{\sqrt{5}}{5} \pm \sqrt{\cfrac{4}{45}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5} \pm \cfrac{2\sqrt{5}}{15} \qquad \therefore \ \ y=\cfrac{\sqrt{5}}{3},\ \ \cfrac{\sqrt{5}}{15} \qquad よって \quad D(0,\ \cfrac{\sqrt{5}}{3}),\ \ E(0,\ \cfrac{\sqrt{5}}{15})$

$\quad 直線②とy軸の交点は \quad (0,\ \cfrac{\sqrt{5}}{3})　だから \ 点 \ D\ に一致する。$

$\quad よって \quad 点D(0,\ \cfrac{\sqrt{5}}{3})\ は①と②をみたす点であるから \ \ |\vec{OP}| \ \ の最大値は \ \ OD=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$

(ii)$\ \ |\vec{OP}| \ \ の最小値$

$\quad 線分 \ OC\ の長さは \quad OC^2=(\cfrac{\sqrt{5}}{15})^2+(\cfrac{\sqrt{5}}{5})^2=\cfrac{2}{9} \quad だから \quad OC=\cfrac{\sqrt{2}}{3}$

$\quad 線分 \ OC\ と円①との交点を \ F\ とすると$

$\quad OF=OC - 円の半径 =\cfrac{\sqrt{2}}{3}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{\sqrt{2}-1}{3}=\cfrac{5(\sqrt{2}-1)}{15}$

$\quad OE=\cfrac{\sqrt{5}}{15}\ \ と比べて \quad OE >OF \quad だから \quad |\vec{OP}| \ \ の最小値は \quad OF=\cfrac{\sqrt{2}-1}{3}$


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