大阪大学(理系) 2023年　問題1


$n\ を\ 2\ 以上の自然数とする。$
$(1)\ \ 0 \leqq x \leqq 1 \ \ のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。$
\[\hspace{3em} \cfrac{1}{2}x^n \leqq (-1)^n\Big\{\cfrac{1}{x+1} -1 -\sum _{k=2}^n (-x)^{k-1}\Big\} \leqq x^n-\cfrac{1}{2}x^{n+1}\] \[(2)\ \ a_n=\sum _{k=1}^n \cfrac{(-1)^{k-1}}{k} \quad とするとき、次の極限値を求めよ。\] \[\hspace{3em} \lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^n n(a_n-\log 2)\]



(1)


\begin{eqnarray*} & &\cfrac{1}{x+1} -1 -\sum _{k=2}^n (-x)^{k-1}\\ \\ &=&\cfrac{1}{x+1} -1 -\big(-x +x^2 -x^3 + \cdots +(-x)^{n-1}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{x+1} -\big(1 -x +x^2 -x^3 + \cdots +(-x)^{n-1}\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{x+1} -\cfrac{1-(-x)^n}{1+x}\\ \\ &=&\cfrac{(-x)^n}{x+1}\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad 中辺=(-1)^n \times \cfrac{(-x)^n}{x+1}=\cfrac{x^n}{x+1} $

$したがって \quad \cfrac{1}{2}x^n \leqq \cfrac{x^n}{x+1} \leqq x^n-\cfrac{1}{2}x^{n+1} \quad を示せばよい$


$ 0 \leqq x \leqq 1 \quad より$

(i)$\ \ \cfrac{x^n}{x+1} - \cfrac{1}{2}x^n=\cfrac{2x^n-(x+1)x^n}{2(x+1)}=\cfrac{(1-x)x^n}{2(x+1)} \geqq 0$

$\qquad \therefore \ \ \cfrac{1}{2}x^n \leqq \cfrac{x^n}{x+1} $


(ii)$\ \ (x^n- \cfrac{1}{2}x^{n+1})- \cfrac{x^n}{x+1}=\cfrac{2(x+1)x^n-(x+1)x^{n+1}-2x^n}{2(x+1)}=\cfrac{-x^{n+2}+x^{n+1}}{2(x+1)}=\cfrac{x^{n+1}(1-x)}{2(x+1)} \geqq 0$

$\qquad \therefore \ \ \cfrac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \cfrac{1}{2}x^{n+1}$

(i),(ii)$\ \ より \qquad \cfrac{1}{2}x^n \leqq \cfrac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \cfrac{1}{2}x^{n+1}$

\[すなわち \qquad \cfrac{1}{2}x^n \leqq (-1)^n\Big\{\cfrac{1}{x+1} -1 -\sum _{k=2}^n (-x)^{k-1}\Big\} \leqq x^n-\cfrac{1}{2}x^{n+1}\]

(2)


\[(1)より \qquad \int_0^1 \cfrac{1}{2}x^n dx \leqq \int _0^1 (-1)^n \Big\{\cfrac{1}{x+1} -1 -\sum _{k=2}^n (-x)^{k-1}\Big\}dx \leqq \int_0^1 (x^n-\cfrac{1}{2}x^{n+1})dx\]
\begin{eqnarray*} 中辺 &=&\int _0^1 (-1)^n \Big\{\cfrac{1}{x+1} -1 -\sum _{k=2}^n (-x)^{k-1}\Big\}dx\\ \\ &=& (-1)^n \Big[\log (x+1)-x + \sum _{k=2}^n \cfrac{(-x)^k}{k} \Big]_0^1\\ \\ &=& (-1)^n \Big \{\log 2-1 + \sum _{k=2}^n \cfrac{(-1)^k}{k} \Big\}\\ \\ &=& (-1)^n \Big \{\log 2 + \sum _{k=1}^n \cfrac{(-1)^k}{k} \Big\}\\ \\ &=& (-1)^n \Big \{\log 2 - \sum _{k=1}^n \cfrac{(-1)^{k-1}}{k} \Big\}\\ \\ &=& (-1)^n (\log 2 - a_n)\\ \end{eqnarray*}
\[左辺=\int_0^1 \cfrac{1}{2}x^n dx=\cfrac{1}{2}\big[\cfrac{x^{n+1}}{n+1}\big]_0^1=\cfrac{1}{2(n+1)}\]
\[右辺=\int_0^1 (x^n-\cfrac{1}{2}x^{n+1})dx=\big[\cfrac{x^{n+1}}{n+1}-\cfrac{x^{n+2}}{2(n+2)}\big]_0^1=\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{2(n+2)}=\cfrac{n+3}{2(n+1)(n+2)}\]
$よって \qquad \cfrac{1}{2(n+1)} \leqq (-1)^n (\log 2 - a_n) \leqq \cfrac{n+3}{2(n+1)(n+2)}$

$両辺に \ n\ をかけて \qquad \cfrac{n}{2(n+1)} \leqq (-1)^n n (\log 2 - a_n) \leqq \cfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$

$n \longrightarrow \infty \quad とすると$

$\quad 左辺=\cfrac{n}{2(n+1)} =\cfrac{1}{2(1+\dfrac{1}{n})} \longrightarrow \cfrac{1}{2}$

$\quad 右辺=\cfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)} =\cfrac{1+\dfrac{3}{n}}{2(1+\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{2}{n})} \longrightarrow \cfrac{1}{2}$

\[したがって、はさみ打ちの原理により \qquad \lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^n n (\log 2 - a_n)=\cfrac{1}{2}\]

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