MY MATH NOTE

大阪大学(理系) 2022年　問題3

$正の実数 \ t\ に対し、座標平面上の \ 2\ 点 \ P(0,\ t)\ ,Q(\cfrac{1}{t},\ 0)\ を考える。t\ が \ 1 \leqq t \leqq 2 \ の範囲を動くとき、$
$座標平面内で線分 \ PQ\ が通過する部分を図示せよ。$

　
$直線 \ PQ\ の方程式は、y=-t^2x+t \quad より \quad xt^2-t+y=0$

$線分 \ PQ\ (右図のピンク色の線分)が \ \ 1 \leqq t \leqq 2 \ の範囲で通過する部分は$
$明らかに第 \ 1\ 象限内にある。$

$x=0 \ \ のときは、点P(0,\ t)\ は \ \ 1 \leqq y \leqq 2 \ \ の範囲を通過する。$

$以下 \ \ x \ne 0 \ \ とする。$

$この式を \ t\ についての \ 2\ 次方程式とみたとき、1 \leqq t \leqq 2 \ で実数解をもつような$
$条件を求めればよい。$

$\quad f(t)=xt^2-t+y \quad とおくと$

$(1) \quad f(t)=0 \ \ の解が \ 2\ つとも区間 \ [1,\ 2]\ にあるとき$

$\quad $(i)$\ \ D=1-4xy \geqq 0 \quad より \quad xy \leqq \cfrac{1}{4}$

$\quad $(ii)$\ \ 2\ 次関数とみたときの軸について$

$\qquad 軸は \quad t=\cfrac{1}{2x} \quad だから \quad 1 \leqq \cfrac{1}{2x} \leqq 2 \qquad \therefore \ \ \cfrac{1}{4} \leqq x \leqq \cfrac{1}{2}$

　
$\quad $(iii)$\ \ 端点について$

$\qquad f(1)=x-1+y \geqq 0,\qquad f(2)=4x-2+y \geqq 0 \quad より$

$\qquad y \geqq -x-1 ,\qquad y \geqq -4x-2$

(i),(ii),(iii)$をみたす \ 点 \ (x,\ y)\ は右図の部分である。$


$(2)\quad f(t)=0 \ \ の \ 2\ つの解のどちらか一方が区間 \ [1,\ 2]\ にあるとき$

$\quad 中間値の定理より \quad f(1)f(2) \leqq 0 \quad だから \quad (x+y-1)(4x+y-2) \leqq 0$

$\quad $(i)$\ \ 曲線 \ \ y=\cfrac{1}{4x}\ \ と直線 \ \ y=-x+1 \ \ の交点は$

$\qquad \cfrac{1}{4x}=-x+1 \quad より \quad 4x^2-4x+1=0 \qquad (2x-1)^2=0$

$\qquad よって \quad x=\cfrac{1}{2}\ \ は重解だから \ \ 点 \ A(\cfrac{1}{2},\ \cfrac{1}{2}) \ \ で接する。$

$\quad $(ii)$\ \ 曲線 \ \ y=\cfrac{1}{4x}\ \ と直線 \ \ y=-4x+2\ \ の交点は$

　
$\qquad \cfrac{1}{4x}=-4x+2 \quad より \quad 16x^2-8x+1=0 \qquad (4x-1)^2=0$

$\qquad よって \quad x=\cfrac{1}{4}\ \ は重解だから \ \ 点B(\cfrac{1}{4},\ 1)\ で接する。$

$\quad $ (iii)$\ \ 直線 \ \ y=-x+1\ \ と直線 \ \ y=-4x+2\ \ の交点 \ C\ は$

$\qquad -x+1=-4x+2 \quad より \quad x=\cfrac{1}{3} \quad よって \quad C(\cfrac{1}{3},\ \cfrac{2}{3})$

$(1),(2)の領域を合わせた領域は右図のとおりで、境界を含む。$

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