大阪大学(理系) 2022年 問題2
$\alpha =\cfrac{2\pi}{7} \ \ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \cos 4\alpha=\cos 3\alpha \ \ であることを示せ。$
$(2)\ \ f(x)=8x^3+4x^2-4x-1 \ \ とするとき、f(\cos \alpha)=0 \ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ \cos \alpha \ \ は無理数であることを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 3\alpha \ と \ 4\alpha \ \ の値から等しいことがわかります。$
$(2)\ \ 3\ 倍角と \ 4\ 倍角を求め、(1)を使います。なお、研究として他の \ 2\ つの解も調べました。$
$(3)\ \ 背理法で証明するのがよいでしょう。$
(1)
$\quad \cos 4\alpha=\cos \cfrac{8\pi}{7}=\cos (\pi+\cfrac{\pi}{7})=-\cos \cfrac{\pi}{7}$
$\quad \cos 3\alpha=\cos \cfrac{6\pi}{7}=\cos (\pi-\cfrac{\pi}{7})=-\cos \cfrac{\pi}{7}$
$よって \quad \cos 4\alpha =\cos 3\alpha$
$(別解)$
$\quad 7\alpha =2\pi \quad より \quad 4\alpha =2\pi - 3\alpha$
$\quad \cos 4\alpha =\cos (2\pi-3\alpha)=\cos 3\alpha$
(2)
$\cos 4\alpha=2\cos ^2 2\alpha-1=2(2\cos ^2 \alpha -1)^2-1=8\cos ^4\alpha -8\cos ^2\alpha +1$
$\cos 3\alpha=\cos (2\alpha + \alpha) =\cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha =(2\cos ^2 \alpha -1)\cos \alpha -2\sin ^2\alpha \cos \alpha $
$\hspace{3em} =(2\cos ^2 \alpha -1)\cos \alpha -2(1-\cos ^2\alpha)\cos \alpha =4\cos ^3\alpha -3\cos \alpha$
$(1)より \quad \cos 4\alpha =\cos 3\alpha \quad に代入して$
$8\cos ^4\alpha -8\cos ^2\alpha +1= 4\cos ^3\alpha -3\cos \alpha$
$8\cos ^4\alpha - 4\cos ^3\alpha -8\cos ^2\alpha + 3\cos \alpha +1= 0$
$(\cos \alpha -1)(8\cos ^3\alpha + 4\cos ^2 \alpha -4\cos \alpha -1)= 0$
$明らかに \ \ \cos \alpha \ne 1 \ \ だから \quad 8\cos ^3\alpha + 4\cos ^2 \alpha -4\cos \alpha -1= 0$
$f(x)=8x^3+4x^2-4x-1 \quad だから \quad f(\cos \alpha)=0 \quad が成り立つ。$
(3)
$\cos \alpha \ \ は無理数であることを背理法で示す。$
$8\cos ^3\alpha + 4\cos ^2 \alpha -4\cos \alpha =1 \quad より \quad 4\cos \alpha(\cos \alpha +1)(2\cos \alpha -1)= 1$
$\cos \alpha\ \ が有理数であるとすると \quad \cos \alpha =\cfrac{n}{m} \ \ (m,\ n\ は互いに素)\ とおけるから$
$\cfrac{4n}{m}(\cfrac{n}{m} +1)(\cfrac{2n}{m}-1)= 1$
$4n(n+m)(2n-m)=m^3$
$左辺は偶数だから右辺の \ m^3\ は偶数、よって\ m\ は偶数 \quad そこで \quad m=2l\ \ とおくと$
$4n(n+2l)(2n-2l)=8l^3$
$n(n+2l)(n-l)=l^3$
$ここで、n\ が偶数ならば \ m,\ n\ はともに \ 2\ の倍数となり既約分数に矛盾する。よって、n\ は奇数。$
(i)$\ \ l が偶数のとき$
$\quad 左辺は \quad 奇数 \times 奇数 \times 奇数 \quad だから \quad 奇数$
$\quad 右辺の \ l^3 \ は偶数だから矛盾する。$
(ii)$\ \ l が奇数のとき$
$\quad 左辺は \quad 奇数 \times 奇数 \times 偶数 \quad だから \quad 偶数$
$\quad 右辺の \ l^3\ は奇数だから矛盾する。$
$よって、n\ が偶数でも奇数でも矛盾が起こるから \ \ \cos \alpha =\cfrac{n}{m}\ \ とおけない。$
$すなわち \quad \cos \alpha \ \ は無理数である。$
$(研究)$
$8x^3+4x^2-4x-1=0 \quad の解の \ 1\ つが \ \ \cos \cfrac{2\pi}{7}\ \ であることがわかりましたが、$
$残りの \ 2\ つの解について調べましょう。$
$右図は \quad y=f(x)=8x^3+4x^2-4x-1=0 \quad のグラフです。$
$\quad f(1)=7,\quad f(\cfrac{1}{2})=-1,\quad f(-\cfrac{1}{2})=1 ,\quad f(-1)=-1 \quad だから$
$グラフは \ x\ 軸と \ 3\ 点で交わり、実数解は \ 3\ 個あることがわかります。$
$それらは中間値の定理より、 \quad \cfrac{1}{2} < x_1 < 1, \quad -\cfrac{1}{2} < x_2 < 0, \quad -1 < x_3 < -\cfrac{1}{2} $
$これらの解について、(1)より \quad \cos 4\alpha=\cos 3\alpha \quad だから \quad 4\alpha=2k\pi \pm 3\alpha \qquad \therefore \ \ \alpha=2k\pi,\quad \cfrac{2k\pi}{7}$
$\quad 0 < \alpha < \pi \quad では \quad \alpha =\cfrac{2\pi}{7},\quad \cfrac{4\pi}{7},\quad \cfrac{6\pi}{7} \quad となります。$
$この \ 3\ つの余弦が方程式の解だから \quad x_1=\cos \cfrac{2\pi}{7},\quad x_2=\cos \cfrac{4\pi}{7},\quad x_3=\cfrac{6\pi}{7}$
$さらに、解と係数の関係から$
$\quad \cos \cfrac{2\pi}{7}+\cos \cfrac{4\pi}{7}+\cos \cfrac{6\pi}{7}=-\cfrac{1}{2} ,\qquad \cos \cfrac{2\pi}{7}\cdot \cos \cfrac{4\pi}{7} \cdot \cos \cfrac{6\pi}{7}=\cfrac{1}{8}$
$であることもわかります。$
$なお、一般の \ 3\ 次方程式の実数解については($3次方程式の実数解を求める方法$)を参考にしてください。$
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