大阪大学(理系) 2022年 問題1
$r\ を正の実数とする。複素数平面上で、点 \ z\ が点 \ \cfrac{3}{2}\ を中心とする半径 \ r\ の円周上を動くとき \ \ z+w=zw \ \ を$
$満たす点 \ w\ が描く図形を求めよ。$
$(解説)$
$点 \ z\ が満たす式に、与えられた式を \ z\ について解いて代入すればよい。$
$描く図形は、r=\cfrac{1}{2}\ \ と \ \ r \ne \cfrac{1}{2}\ \ に分けて考えます。$
$点 \ \cfrac{3}{2}\ を中心とする半径 \ r\ の円は \quad |z-\cfrac{3}{2}|=r \ \ とおける。$
$z+w=zw \quad において \quad w=1\ \ とすると \quad z+1=z \quad となって不合理だから \quad w \ne 1$
$z(w-1)=w \quad より \quad z=\cfrac{w}{w-1}$
$|z-\cfrac{3}{2}|=r \quad に代入して \quad \big|\cfrac{w}{w-1}-\cfrac{3}{2}\big|=r$
$\big|\cfrac{w-3}{2(w-1)}\big|=r \qquad \therefore \ \ |w-3|=2r|w-1|$
$(1)\ \ r=\cfrac{1}{2} \quad のとき$
$\quad |w-3|=|w-1| $
$\quad 点P(w)\ と点 \ A(1),\ 点 \ B(3)\ への距離が等しいから、線分 \ AB\ の$
$\quad 垂直二等分線である。$
$(2)\ \ r \ne \cfrac{1}{2} \quad のとき$
$\quad |w-3|=2r|w-1| \quad より \quad PB=2rPA $
$\quad 2\ 定点までの距離の比が一定な点の軌跡は円(アポロニウスの円)となる。$
$\quad 円の中心は実軸上にあり$
(i)$\ \ 線分 \ AB\ を \ 1:2r\ に内分する点\ Q\ は \quad z=\cfrac{2r \times 1+ 1 \times 3}{2r+1}=\cfrac{2r+3}{2r+1}$
(ii)$\ \ 線分 \ AB\ を \ 1:2r\ に外分する点 \ R\ は \quad z=\cfrac{2r \times 1- 1 \times 3}{2r-1}=\cfrac{2r-3}{2r-1}$
$この点 \ Q,\ R\ は直径の両端であるから、円の中心 \ C\ は、線分 \ QR\ の中点で$
$\qquad \cfrac{1}{2}\big(\cfrac{2r+3}{2r+1}+\cfrac{2r-3}{2r-1}\big)=\cfrac{4r^2-3}{(2r+1)(2r-1)} \quad \therefore \ \ C(\cfrac{4r^2-3}{(2r+1)(2r-1)},\ 0)$
$円の半径は \ QC\ だから$
$\qquad QC=\big|\cfrac{2r+3}{2r+1}- \cfrac{4r^2-3}{(2r+1)(2r-1)}\big|=\big|\cfrac{4r}{(2r+1)(2r-1)}\big|=\cfrac{4r}{|4r^2-1|}$
$(別解)$
$r \ne \cfrac{1}{2} \quad のとき \quad w=x+yi \quad とおいて \quad |w-3|=2r|w-1| \quad を \ xy\ 表示すると$
$|x-3+yi|=2r|x-1+yi|$
$(x-3)^2+y^2=4r^2\{(x-1)^2+y^2\}$
$(4r^2-1)x^2-2(4r^2-3)x+(4r^2-1)y^2=9-4r^2$
$\big(x-\cfrac{4r^2-3}{4r^2-1}\big)^2+y^2=\cfrac{9-4r^2}{4r^2-1}+\big(\cfrac{4r^2-3}{4r^2-1}\big)^2$
$\big(x-\cfrac{4r^2-3}{4r^2-1}\big)^2+y^2=\cfrac{16r^2}{(4r^2-1)^2}$
$よって \quad 中心 \ C(\cfrac{4r^2-3}{4r^2-1},\ 0),\quad 半径 \ \ \cfrac{4r}{|4r^2-1|}\ \ の円$
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