大阪大学(理系) 2021年 問題4
$整数 \ a,\ b,\ c\ に関する次の条件 \ (*)\ を考える。$
\[\quad \int_a^c(x^2+bx)dx=\int_b^c(x^2+ax)dx \quad \cdots \quad (*)\]
$(1)\ \ 整数 \ a,\ b,\ c\ が \ (*)\ および \ a \ne b\ をみたすとき、a\ は \ 3\ の倍数であることを示せ。$
$(2)\ \ c=3600\ のとき、(*)\ および \ \ a < b \ \ をみたす整数の組 \ (a,\ b)\ の個数を求めよ。$
$(解説)$
$(1)の定積分は \ a,\ b,\ c\ の関係式を求めるだけで意味はありません。a\ が \ 3\ の倍数であることを示す方法は$
$\quad 整数論独特の方法がつかわれます。$
$(2)は \ 3c^2\ を素因数分解して、2\ つの積に分ける分け方の総数を求めますが、その分け方に条件がつきます。$
(1)
\[\int_a^c(x^2+bx)dx=\int_b^c(x^2+ax)dx \quad より\] $\qquad \big[\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{b}{2}x^2\big]_a^c=\big[\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{a}{2}x^2\big]_b^c$
$\qquad \cfrac{c^3}{3}+\cfrac{bc^2}{2}-\cfrac{a^3}{3}-\cfrac{a^2b}{2}=\cfrac{c^3}{3}+\cfrac{ac^2}{2}-\cfrac{b^3}{3}-\cfrac{ab^2}{2}$
$\qquad 2a^3+3a^2b+3ac^2-3ab^2-2b^3-3bc^2=0$
$\qquad 3c^2(a-b)+2(a^3-b^3)+3ab(a-b)=0$
$\qquad (a-b)\{3c^2+2(a^2+ab+b^2)+3ab\}=0$
$\qquad (a-b)(3c^2+2a^2+2b^2+5ab)=0$
$\qquad (a-b)\{3c^2+(2a+b)(a+2b)\}=0$
$\qquad a \ne b \quad だから \quad 3c^2+(2a+b)(a+2b)=0$
$\qquad 3c^2=-(2a+b)(a+2b) \quad で左辺は \ 3\ の倍数だから \ (2a+b)(a+2b)\ は \ 3\ の倍数となる。$
(i)$\ \ 2a+b \ \ が \ 3\ の倍数のとき$
$\hspace{4em} 2a+b=3k\ \ (kは整数)\ とおくと \quad b=3k-2a$
$\hspace{4em} a+2b=a+2(3k-2a)=3(2k-a) \quad となって \quad a+2b \quad も \ 3\ の倍数である。$
$\qquad したがって \quad (2a+b)(a+2b) \quad は \ 9\ の倍数となる。$
(ii)$\ \ a+2b \ \ が \ 3\ の倍数のとき$
$\hspace{4em} a+2b=3l\ \ (lは整数)\ とおくと \quad a=3l-2b$
$\hspace{4em} 2a+b=2(3l-2b)+b=3(2l-b) \quad となって \quad 2a+b \quad も \ 3\ の倍数である。$
$\qquad したがって \quad (2a+b)(a+2b) \quad は \ 9\ の倍数となる。$
(i),(ii)$より、3c^2 \ は \ 9\ の倍数、したがって \quad c^2\ は \ 3\ の倍数となる。$
$ところで、整数 \ c\ は \ m\ を整数として、3m-1,\ \ 3m,\ \ 3m+1 \ \ と類別される。$
(i)$\ \ c=3m \pm 1 \quad のとき $
$\qquad c^2=(3m \pm 1)^2=9m^2 \pm 6m +1=3(3m^2 \pm 2m)+1 \quad となって \quad c^2 \ は \ 3\ の倍数にならない。$
(ii)$\ \ c=3m \quad のとき$
$\qquad c^2=9m^2 \quad だから確かに \ 3\ の倍数となる。$
(i),(ii)$より \quad c\ は \ 3\ の倍数である。$
(2)
$\quad まず、(1)で求めた \quad 3c^2=-(2a+b)(a+2b)\ \ (a < b )\ \ から導かれる性質を調べる。$
$\quad $(i)$\quad (a+2b)-(2a+b)=b-a > 0 \quad だから \quad 2a+b < a+2b $
$\quad $(ii) $ \quad 3c^2+2a^2+2b^2+5ab =0 \quad より \quad 3c^2+2a^2+2b^2=-5ab \quad だから \quad ab < 0$
$\hspace{4em} a< b \quad より \quad a <0 ,\quad b > 0 $
$\quad $(iii) $\quad 3c^2=-(2a+b)(a+2b) > 0 \quad より \quad (b+2a)(b+\cfrac{a}{2}) < 0$
$\hspace{4em} $(ii)$より \quad a < 0 \quad だから \quad -\cfrac{a}{2} < -2a $
$\hspace{4em} よって \quad -\cfrac{a}{2} < b < -2a $
$\hspace{4em} この両辺に \ 2a\ を加えて \quad \cfrac{3a}{2} < 2a+b < 0$
$\qquad また -\cfrac{a}{2} < b < -2a \quad の両辺を \ 2\ 倍して \quad -a < 2b < -4a$
$\hspace{4em} この両辺に\ a\ を加えて \quad 0 < a+2b < -3a$
$以上の性質をもとに \quad 3c^2=pq \ \ (p < q) \ \ と分解したとき$
$\quad pq=-(2a+b)(a+2b) $
$\quad $(i)$\ \ より \quad 2a+b < a+2b $
$\quad $(iii)$\ \ より \quad 2a+b < 0, \quad a+2b >0$
$\quad したがって \quad 2a+b=-p,\quad a+2b=q \quad これを解いて \quad a=-\cfrac{2p+q}{3},\quad b=\cfrac{p+2q}{3}$
$\quad よって、この分解に対して、(a,\ b)\ が \ 1\ 組決まることになる。$
$ところで$
$\quad c=3600=60^2=(2^2 \times 3 \times 5)^2=2^4 \times 3^2 \times 5^2 \quad だから \quad 3c^2=2^8 \times 3^5 \times 5^4 \quad の分解を考える。$
$\quad (1)より \quad 2a+b \ \ も \ \ a+2b\ \ も \ 3\ の倍数であるから、どちらも \ 3\ の因数を少なくとも \ 1\ 個は含む。$
$\qquad 2^8\ \ の分け方は \quad 2^0,\ \ 2^1,\ \ \cdots, \quad 2^8\ \ の \ 9\ 通り$
$\qquad 3^5\ \ の分け方は \quad 3^0,\ \ 3^1,\ \ 3^2,\ \ 3^3 \ \ の \ 4\ 通り$
$\qquad 5^4\ \ の分け方は \quad 5^0,\ \ 5^1,\ \ 5^2,\ \ ,5^3,\ \ 5^4\ \ の \ 5\ 通り$
$\quad したがって、全部で \quad 9\times 4 \times 5 =180 \ \ 通り$
$例1$
$\quad 3c^2= 2^8 \times 3^5 \times 5^4=(2^3 \times 3^2 \times 5^3)(2^5 \times 3^3 \times 5) \quad と分解したとき$
$\qquad 2^3 \times 3^2 \times 5^3=9000,\quad 2^5 \times 3^3 \times 5=4320 \quad だから$
$\qquad 2a+b=-p=-4320,\quad a+2b=q=9000 \quad となる。$
$\qquad (なお、このとき \quad 3c^2= 2^8 \times 3^5 \times 5^4=(2^5 \times 3^3 \times 5)(2^3 \times 3^2 \times 5^3) \quad と分解しても同じである。)$
$これを解いて \quad a=-5880,\quad b=7440$
$例2$
$\quad 3c^2= 2^8 \times 3^5 \times 5^4=(2^3 \times 3^3 \times 5)(2^5 \times 3^2 \times 5^3) \quad と分解したとき$
$\qquad 2^3 \times 3^3 \times 5=1080,\quad 2^5 \times 3^2 \times 5^3=36000 \quad だから$
$\qquad 2a+b=-p=-1080,\quad a+2b=q=36000 \quad となる。$
$これを解いて \quad a=-12720,\quad b=24360$
$このように、3c^2 \ \ の \ 1\ つの分解ごとに、(a,\ b)\ の組が \ 1\ つ決まるわけである。$
$不勉強で、この問題の背景がわかりません。$
$出題者は、どのような着想からこの問題を考えたのでしょうか。本当に頭が下がります。$
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