大阪大学(理系) 2021年 問題3
$n\ を自然数とし、t\ を \ \ t \geqq 1 \ \ をみたす実数とする。$
$\quad (1)\ \ x \geqq t \ \ のとき、不等式 \ \ -\cfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t) \leqq 0 \ \ が成り立つことを示せ。$
\[(2)\ \ 不等式 \ \ -\cfrac{1}{6n^3} \leqq \int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \log x dx -\cfrac{1}{n}\log t -\cfrac{1}{2tn^2} \leqq 0 \quad が成り立つことを示せ。\]
\[(3)\ \ a_n=\sum _{k=0}^{n-1} \log \big(1+\dfrac{k}{n}\big) \ \ とおく。\lim _{n \rightarrow \infty} (a_n-pn)=q \ \ をみたすような実数 \ p,\ q\ の値を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)は不等号が \ 2\ つあるので、それぞれについて微分法をつかって最小値が正であることを示せばよい。$
$(2)は(1)の不等式を積分するだけです。$
$(3)は(2)より求めますが、何をどう置き換えれば \ a_n\ がでるか考えます。かなりやっかいです。$
(1)
(i)$\ \ f(x)=\log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t) +\cfrac{(x-t)^2}{2} \quad とおくと$
$\qquad f'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{t}+(x-t)=\cfrac{t-x+tx(x-t)}{tx}=\cfrac{(x-t)(x-\dfrac{1}{t})}{x}$
$\qquad f'(x)=0 \quad より \quad x=t,\ \ \cfrac{1}{t} \qquad t \geqq 1 \quad だから \quad \cfrac{1}{t} \leqq t$
$\quad したがって \quad x \geqq t \quad のとき \quad f'(x) \geqq 0 \qquad よって \quad f(x) \geqq f(t)=0 $
$\quad すなわち \quad -\cfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t)$
(ii)$\ \ g(x)=\log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t) \quad とおくと$
$\qquad g'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{t}=-\cfrac{x-t}{tx}$
$\qquad x \geqq t \quad だから \quad g'(x) \leqq 0 \quad よって \quad g(x) \leqq g(t)=0$
$\quad すなわち \quad \log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t) \leqq 0$
(i),(ii)$より \quad -\cfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t) \leqq 0 $
(2)
$\quad (1)より \quad -\cfrac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t) \leqq 0 \quad だから両辺の定積分をとって$
\[-\int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{(x-t)^2}{2}dx \leqq \int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\big\{\log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t)\big\}dx \leqq 0 \]
\[I_1=-\int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \cfrac{(x-t)^2}{2}dx= -\cfrac{1}{6}\big[(x-t)^3\big]_t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}=-\cfrac{1}{6n^3}\] \begin{eqnarray*} I_2 &=&\int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\big\{\log x - \log t -\cfrac{1}{t}(x-t)\big\}dx\\ &=&\int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\log x dx - \big[x\log t +\cfrac{1}{2t}(x-t)^2\big]_t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\\ &=&\int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\log x dx - (t+\cfrac{1}{n})\log t -\cfrac{1}{2tn^2}+t\log t\\ &=&\int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}\log x dx - \cfrac{1}{n}\log t -\cfrac{1}{2tn^2}\\ \end{eqnarray*} $よって$
\[-\cfrac{1}{6n^3} \leqq \int _t^{t+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} \log x dx -\cfrac{1}{n}\log t -\cfrac{1}{2tn^2} \leqq 0 \quad が成りたつ。\]
(3)
$\quad (2)で示した不等式の両辺に \ n\ をかけて、t=1+\cfrac{k}{n} \quad とおくと$
\[-\cfrac{1}{6n^2} \leqq \int _{1+\scriptsize{\cfrac{k}{n}}}^{1+\scriptsize{\cfrac{k+1}{n}}} n\log x dx -\log (1+\cfrac{k}{n}) -\cfrac{1}{2(1+\dfrac{k}{n})n} \leqq 0 \] $\quad k=0 \ から \ (n-1)\ までの和をとると$
\[\sum _{k=0}^{n-1}\big(-\cfrac{1}{6n^2}\big) \leqq \sum _{k=0}^{n-1}\int _{1+\scriptsize{\cfrac{k}{n}}}^{1+\scriptsize{\cfrac{k+1}{n}}} n\log x dx -\sum _{k=0}^{n-1}\log (1+\cfrac{k}{n}) -\sum _{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{2(1+\dfrac{k}{n})n} \leqq 0 \] $\quad n \longrightarrow \infty \quad とすると$
\[\sum _{k=0}^{n-1}\big(-\cfrac{1}{6n^2}\big)=-\cfrac{1}{6n^2} \times n=-\cfrac{1}{6n} \longrightarrow 0 \quad だから、はさみ打ちの原理により\]
\[\sum _{k=0}^{n-1}\int _{1+\scriptsize{\cfrac{k}{n}}}^{1+\scriptsize{\cfrac{k+1}{n}}} n\log x dx -\sum _{k=0}^{n-1}\log (1+\cfrac{k}{n}) -\sum _{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{2(1+\dfrac{k}{n})n} \longrightarrow 0 \]
(i)$\ \ 第1項目は$
\begin{eqnarray*} \sum _{k=0}^{n-1}\int _{1+\scriptsize{\cfrac{k}{n}}}^{1+\scriptsize{\cfrac{k+1}{n}}} n\log x dx &=&\int _1^{1+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} n\log x dx + \int _{1+\scriptsize{\cfrac{1}{n}}}^{1+\scriptsize{\cfrac{2}{n}}} n\log x dx + \cdots + \int _{1+\scriptsize{\cfrac{n-1}{n}}}^2 n\log x dx\\ &=&\int _1^2 n\log x dx \\ \\ &=&n\big[x\log x -x\big]_1^2 \\ \\ &=&n(2\log 2 -1)\\ \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ 第2項目は$
\[\sum _{k=0}^{n-1}\log (1+\cfrac{k}{n}) =a_n \]
(iii)$\ \ 第3項目は定積分の区分求積法をつかって$
\begin{eqnarray*} \lim _{n \longrightarrow \infty} \sum _{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{2(1+\dfrac{k}{n})n} &=&\cfrac{1}{2} \lim _{n \longrightarrow \infty} \sum _{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{n} \cdot \cfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}}\\ &=&\cfrac{1}{2} \int _0^1 \cfrac{dx}{1+x}\\ &=&\cfrac{1}{2} \big[\log(1+x)\big]_0^1\\ &=&\cfrac{1}{2} \log 2\\ \end{eqnarray*} \[よって \quad \lim _{n \longrightarrow \infty}\{ n(2\log 2 -1)-a_n \}-\cfrac{1}{2} \log 2=0\] \[\hspace{4em} \lim _{n \longrightarrow \infty}\{ a_n - n(2\log 2 -1) \}=-\cfrac{1}{2} \log 2\] \[これが \quad \lim _{n \rightarrow \infty} (a_n-pn)=q \quad をみたすから \quad p=2\log 2 -1,\quad q=-\cfrac{1}{2} \log 2\]
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