MY MATH NOTE

大阪大学(理系) 2020年　問題4

$\qquad t\ を正の実数とする。xy\ 平面において、連立不等式$
$\hspace{4em} x \geqq 0,\quad y \geqq 0 ,\quad xy \leqq 1,\quad x+y \leqq t $
\[の表す領域の面積を \ S(t)\ とおく。極限 \ \ \lim _{t \rightarrow \infty}(S(t)-2\log t)\ \ を求めよ。\]

　

$連立不等式の表す領域は、直線 \ y=x\ に関して対称であるので、$
$ y < x \ \ の部分で、右のグラフのとおり表す領域を$
$S_1,\ S_2,\ S_3\ とする。$

(i)$\ \ S_1 \ について$

$\quad xy=1 \ と \ y=x \ の交点は \ x=1\ だから$

$\qquad S_1=\cfrac{1}{2} \times 1 \times 1=\cfrac{1}{2}$

(ii)$\ \ S_2 \ について$

$\quad xy=1\ と \ x+y=t\ \quad の交点は$

$\quad x(t-x)=1 \qquad x^2-tx+1=0\ \ の解のうち大きい方を \ \alpha \ とすると$

$\qquad \alpha =\cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}$

\[S_2=\int _1^{\alpha}\cfrac{dx}{x}=\big[\log x\big]_1^{\alpha}=\log \alpha\]
(iii)$\ \ S_3 \ について$

$\quad S_3=\cfrac{1}{2}(t-\alpha )^2$

$よって$
\begin{eqnarray*} S(t) &=&2(S_1+S_2+S_3)\\ \\ &=&1+2\log \alpha +(t-\alpha)^2\\ \\ &=&1+2\log \cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{2} +\big(t- \cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\big)^2\\ \\ &=&1+2\log (t+\sqrt{t^2-4})-2\log 2 +\big(\cfrac{t-\sqrt{t^2-4}}{2}\big)^2\\ \\ &=&1-2\log 2 +2\log (t+\sqrt{t^2-4})+\cfrac{1}{4}\big(2t^2-4-2t\sqrt{t^2-4}\big)\\ \\ &=&1-2\log 2 +2\log (t+\sqrt{t^2-4})+\cfrac{1}{2}\big(t^2-2-t\sqrt{t^2-4}\big)\\ \\ \end{eqnarray*} $したがって$

$\qquad S(t)-2\log t=1-2\log 2 +2\log \cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{t}+\cfrac{1}{2}\big(t^2-2-t\sqrt{t^2-4}\big)$

\[ \lim _{t \rightarrow \infty}\log \cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{t} =\lim _{t \rightarrow \infty}\log \Big(1+\sqrt{1-\small{\cfrac{4}{t^2}}}\Big) =\log 2 \]
\[ \lim _{t \rightarrow \infty}\big(t^2-2-t\sqrt{t^2-4}\big) =\lim _{t \rightarrow \infty}\cfrac{(t^2-2)^2-t^2(t^2-4)}{t^2-2+t\sqrt{t^2-4}} =\lim _{t \rightarrow \infty}\cfrac{4}{t^2-2+t\sqrt{t^2-4}} =0\\ \] $よって$
\[\lim _{t \rightarrow \infty}\big(S(t)-2\log t\big)=1-2\log 2 +2\log 2=1\]

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