大阪大学　理系　2020年　問題2


$\quad 1個のさいころをn回投げて、k回目に出た目が1の場合はX_k=1、出た目が2の場合はX_k=-1,$
$\quad その他の目が出た場合はX_k=0とする。$
$\qquad Y_k=\cos (\cfrac{\pi}{3}X_k)+i\sin (\cfrac{\pi}{3}X_k)\ \ とおき、Y_1からY_nまでの積 \ Y_1Y_2Y_3\cdots Y_n \ をZ_nで表す。$
$\quad ただし、iは虚数単位とする。以下の問いに答えよ。$
$\hspace{2em} (1)\ \ Z_2が実数でない確率を求めよ。$
$\hspace{2em} (2)\ \ Z_1,Z_2,Z_3,\cdots , Z_n がいずれも実数でない確率を求めよ。$
\[(3)\ \ Z_n が実数となる確率をp_nとする。p_nをnを用いて表し、極限 \lim_{n \rightarrow \infty} p_nを求めよ。\]


$(解説)$

$反復試行の確率の問題であるが、設問の事象の確率変数が各回の累加、累乗であるので、扱いは簡単でない。$
$このような問題では漸化式を考えるとうまく処理できる場合があります。$
$(2)は\ Z_1,Z_2,Z_3,\cdots , Z_n がいずれも実数でないという事象をどう捉えるかです。$
$(3)の\ Z_n が実数となる事象は(2)と異なり、Z_{n-1}が虚数の場合も含まれるので要注意です。$


$ド・モアブルの定理より$
\begin{eqnarray*} Z_n &=&Y_1Y_2Y_3\cdots Y_n \\ &=&(\cos \cfrac{\pi}{3}X_1+i\sin \cfrac{\pi}{3}X_1)(\cos \cfrac{\pi}{3}X_2+i\sin \cfrac{\pi}{3}X_2) \cdots (\cos \cfrac{\pi}{3}X_n+i\sin \cfrac{\pi}{3}X_n)\\ &=&\cos \cfrac{\pi}{3}(X_1+X_2+\cdots +X_n) +i\sin \cfrac{\pi}{3}(X_1+X_2+\cdots +X_n)\\ \end{eqnarray*} $\qquad U_n=X_1+X_2+\cdots +X_n \quad とおくと$

$\qquad Z_n=\cos \cfrac{\pi}{3}U_n +i\sin \cfrac{\pi}{3}U_n$

(1)


$Z_2が実数でないのは、\sin \cfrac{\pi}{3}U_2 \ne 0 \ のとき、すなわち \ \ U_2 \ne 0 \ のときである。$
$その余事象は \ U_2=0 \ だから \ \ (X_1,X_2)=(1,-1),\ (-1,1),\ (0,0)$

$さいころ投げは各回互いに独立な試行だから$
$\qquad P(X_1=1,X_2=-1)=P(X_1=1)P(X_2=-1)=\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}$
$同様にして$
$\quad P(X_1=-1,X_2=1)=\cfrac{1}{6} \times \cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}$

$\quad P(X_1=0,X_2=0)=\cfrac{4}{6} \times \cfrac{4}{6}=\cfrac{16}{36}$

$これらは互いに排反だから　余事象の確率は \quad \cfrac{1}{36}+\cfrac{1}{36}+\cfrac{16}{36}=\cfrac{1}{2}$

$したがって　Z_2が実数でない確率は \quad 1-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}$


(2)


$\sin \cfrac{\pi}{3}U_k \ は \ U_k \ が3の倍数のとき0になるので、U_k \ を3で割った余り、すなわち法3の剰余系で考えればよい。$
$\qquad なお、剰余系については($合同式$)を参考にしてください。$

$Z_k \ (k=1,2,\cdots n) \ \ が実数でないのは \ \ \sin \cfrac{\pi}{3}U_k \ne 0 \ \ のとき、すなわち \quad U_k \ne 0 \ \ のときである。$

　
$U_k \ne 0 \ のときU_{k+1} \ne 0 \ となる事象の樹形図は右のとおりである。$

$\qquad P(U_k=1)=q_k,\quad P(U_k=-1)=r_k \quad とおくと$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} q_{k+1}=\cfrac{4}{6}q_k+\cfrac{1}{6}r_k\\ r_{k+1}=\cfrac{1}{6}q_k+\cfrac{4}{6}r_k\\ \end{array} \right. \] $辺々加えて$
\begin{eqnarray*} q_{k+1}+r_{k+1} &=&\cfrac{5}{6}q_k+\cfrac{5}{6}r_k\\ &=&\cfrac{5}{6}(q_k+r_k)\\ \end{eqnarray*} $\quad Q_k=q_k+r_k \quad とおく。$
$\quad Q_k はU_1,U_2,\cdots U_k \ が0でない、すなわち \ 3の倍数でない確率$
$\quad したがって \ Z_1,Z_2,Z_3,\cdots , Z_n がいずれも実数でない確率を表す。$

$\qquad Q_{k+1}=\cfrac{5}{6}Q_k$

$\qquad Q_1=q_1+r_1=P(X_1=1)+P(X_1=-1)=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{3} \ \ だから$

$\qquad Q_n=\cfrac{1}{3}(\cfrac{5}{6})^{n-1} \ \ が\ Z_1,Z_2,Z_3,\cdots , Z_n がいずれも実数でない確率である。$


(3)

　
$Z_n が実数となるのは、\sin \cfrac{\pi}{3}U_n =0 \ \ のときだから$
$\quad U_n=X_1+X_2+\cdots +X_n \quad が3の倍数のときである。$
$すなわち法3の剰余系で考えれば、U_n=0　\ のときである。$

$P(U_{n-1}=1)=q_{n-1},\ \ P(U_{n-1}=-1)=r_{n-1},\ \ P(U_{n-1}=0)=p_{n-1} \ \ とおく$

$\qquad ただし　\quad q_{n-1}+r_{n-1}+p_{n-1}=1$

\begin{eqnarray*} p_n &=&P(U_n=0)\\ \\ &=&P(U_{n-1}=1 \cap X_n=-1)+P(U_{n-1}=-1 \cap X_n=1)+P(U_{n-1}=0 \cap X_n=0)\\ \\ &=&q_{n-1} \times \cfrac{1}{6}+r_{n-1} \times \cfrac{1}{6}+p_{n-1} \times \cfrac{4}{6}\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}(q_{n-1}+r_{n-1})+\cfrac{4}{6}p_{n-1}\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}(1-p_{n-1})+ \cfrac{4}{6}p_{n-1}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}p_{n-1} + \cfrac{1}{6}\\ \end{eqnarray*} $よって$

$\quad p_n=\cfrac{1}{2}p_{n-1} + \cfrac{1}{6} $

$この隣接2項間の漸化式の特性方程式$

$\quad x=\cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{6}\ \ の解は \ \ x=\cfrac{1}{3}$

$辺々引いて$

$\qquad p_n-\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{2}(p_{n-1}-\cfrac{1}{3})$

$\qquad p_n-\cfrac{1}{3}=(p_{1}-\cfrac{1}{3})(\cfrac{1}{2})^{n-1}$
\begin{eqnarray*} p_n &=&(\cfrac{4}{6}-\cfrac{1}{3})(\cfrac{1}{2})^{n-1}+\cfrac{1}{3}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{2})^{n-1}+\cfrac{1}{3}\\ \end{eqnarray*}
\[\lim _{n \rightarrow \infty}p_n=\cfrac{1}{3}\]


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