大阪大学　文・理系　2020年　問題5


$文系　三角形ABCにおいて、辺ABの長さをc、辺CAの長さをbで表す。$
$\hspace{4em} \angle ACB=3\angle ABC \ \ であるとき、c < 3b \ \ を示せ。$
$理系　nを2以上の自然数とする。三角形ABCにおいて、辺ABの長さをc、辺CAの長さをbで表す。$
$\hspace{4em} \angle ACB=n\angle ABC \ \ であるとき、c < nb \ \ を示せ。$


$平面幾何の簡単な命題ですが、不勉強で知りませんでした。$
$理系は、自然数nについての問題ですから数学的帰納法を用いればよいと考えられます。$


$正弦定理を用いて\quad \cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C} \quad \therefore \cfrac{c}{b}=\cfrac{\sin nB}{\sin B}$

$S_n= \cfrac{\sin nB}{\sin B} \ \ とおく$

$設問にはありませんが、まず\ \ n=2 \ \ について調べてみましょう。$

$S_2=\cfrac{\sin 2B}{\sin B}=\cfrac{2\sin B \cos B}{\sin B}=2\cos B$

$B >0 \ \ で、B+C < \pi \ \ だから \ \ B+2B < \pi$

$よって、0 < B < \cfrac{\pi}{3} \ \ より \ \ \cfrac{1}{2} < \cos B < 1$

$\therefore \ \ S_2 <2 \quad となり \quad c < 2b$

$これを参考にして、文系の \ n=3\ の場合を考えてみましょう。$

(文系)

\begin{eqnarray*} S_3 &=&\cfrac{\sin 3B}{\sin B}\\ \\ &=&\cfrac{\sin (2B+B)}{\sin B}\\ \\ &=&\cfrac{\sin 2B \cos B + \cos 2B \sin B}{\sin B}\\ \\ &=&\cfrac{\sin 2B}{\sin B} \cos B +\cos 2B\\ \\ &=&S_2 \cos B +\cos 2B\\ &<&2\cos B +\cos 2B\\ \end{eqnarray*} $ここで、\quad B >0 \ \ で、B+C < \pi \quad だから \quad B+3B < \pi$

$\qquad 0 < B < \cfrac{\pi}{4} \quad より　0 < 2B < \cfrac{1}{2}\pi < \pi$

$よって \quad 0 < B < 2B < \pi \quad だから \quad \cos 2B < \cos B$

\begin{eqnarray*} S_3 &<&2cos B+\cos B \\ &=&3\cos B\\ &<&3\\ \end{eqnarray*} $よって \quad c < 3b$

$なお、3倍角の公式を使えば$

$\qquad S_3=\cfrac{\sin 3B}{\sin B}=\cfrac{3\sin B-4\sin ^3B}{\sin B}=3-4\sin ^2B<3$

$のように示すことができます。$

(理系)


$S_n= \cfrac{c}{b}=\cfrac{\sin nB}{\sin B} \quad について \quad S_n < n \ \ が成り立つことを数学的帰納法で証明します。$

(i)$\ \ n=2 \ \ のときはすでに上で示してあります。$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成り立つとすると \quad S_k < k$

$このとき$
\begin{eqnarray*} S_{k+1} &=&\cfrac{\sin (k+1)B}{\sin B}\\ &=&\cfrac{\sin kB \cos B + \cos kB \sin B}{\sin B}\\ &=&\cfrac{\sin kB}{\sin B} \cos B +\cos kB\\ \end{eqnarray*} $ここで \quad B >0 \ \ で、B+C < \pi \ \ だから \ \ B+kB < \pi$

$0 < B < \cfrac{\pi}{k+1} \ \ より \ \ 　0 < kB < \cfrac{k}{k+1}\pi < \pi$

$よって \quad 0 < B < kB < \pi \ \ だから \ \ 　\cos kB < \cos B$

\begin{eqnarray*} S_{k+1} &=&S_k \cos B +\cos kB\\ &<& k \cos B +\cos kB\\ &<& k \cos B +\cos B\\ &=& (k+1) \cos B\\ &<& k+1\\ \end{eqnarray*} $よって、n=k+1 のときも成り立つ。$

(i),(ii)$より、2以上のすべての自然数 \ n\ について\ \ S_n < n$

$\therefore c < nb$


$(補足)$

$三角形ABCで、\angle B < \angle C \ \ ならば \ \ b < c \quad だから \quad b < c < nb \quad となります。$



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