岡山大学(理系) 2026年 問題4
$a\ を実数とし、a \geqq 1 \ \ を満たすとする。また、f(x)=|a-x|e^x,\ \ g(x)=|a+x|e^{-x} \ \ とする。さらに曲線$
$C,\ D\ を以下のように定める。C:y=f(x),\ \ D:y=g(x) \ \ 以下の問いに答えよ。ただし、必要ならば自然$
$対数の底 \ e\ が \ e > 2 \ をみたすことを用いてもよい。$
$(1)\ \ f(a) < g(a) \ \ および \ \ f(2a) > g(2a) \ \ を示せ。$
$(2)\ \ a > 1 \ \ のとき、 0 < x < a-1 \ \ ならば \ \ f(x) > g(x) \ \ であることを示せ。$
$(3)\ \ C \ と \ D\ の共有点がちょうど \ 3\ 個であるような \ a\ の値を求めよ。$
(1)
(i)$\ \ f(a) < g(a) \ \ の証明$
\begin{eqnarray*} & &g(a)-f(a)\\ \\ &=&|a+a|e^{-a} - |a-a|e^a\\ \\ &=&|2a|e^{-a}\\ \\ & > &0 \end{eqnarray*} $よって \quad f(a) < g(a)$
(ii)$\ \ f(2a) > g(2a) \ \ の証明$
\begin{eqnarray*} & &f(2a)-g(2a)\\ \\ &=&|a-2a|e^{2a} - |a+2a|e^{-2a}\\ \\ &=&|-a|e^{2a} - |3a|e^{-2a}\\ \\ &=&ae^{2a} - 3ae^{-2a}\\ \\ &=&ae^{2a}\big(1 - 3e^{-4a})\\ \end{eqnarray*}
$ここで、e > 2 \ \ だから \quad e^{4a} > 2^{4a} \quad e^{-4a} < 2^{-4a}=\dfrac{1}{16^a}$
$\therefore \ \ 3e^{-4a} < \dfrac{3}{16^a}<1 $
$よって \quad f(2a)-g(2a)>0 \qquad \therefore \ \ f(2a) > g(2a)$
(2)
$0 < x < a-1 \ \ より \ \ a-x >1$
$よって \quad f(x)=(a-x)e^x, \quad g(x)=(a+x)e^{-x}$
$h(x)=f(x)-g(x)=(a-x)e^x - (a+x)e^{-x} \ \ とおくと$
$h'(x)=-e^x+(a-x)e^x-e^{-x}+(a+x)e^{-x}=(a-1-x)e^x+(a-1+x)e^{-x}$
$ここで \ \ a-1-x > 0 ,\quad a-1+x > a-1-x > 0\ \ だから \quad h'(x) >0$
$h(x)\ は単調増加だから \quad h(x) > h(0)=f(0)-g(0)=a - a=0$
$h(x) > 0\ \ だから \quad 0 < x < a-1 \ \ ならば \ \ f(x) > g(x) \ \ である。$
(3)
$C:y=f(x)=|a-x|e^x \ \ で \ \ x \longrightarrow -x \ \ と置き換えると$
$f(-x)=|a+x|e^{-x}=g(x) \ \ だから \ \ C\ と \ D\ は \ y\ 軸について対称である。$
$そこで曲線\ C\ のグラフについて調べると$
(i)$\ \ x \leqq a \ \ のとき$
$\quad f(x)=(a-x)e^x$
$\quad f'(x)=-e^x+(a-x)e^x=(a-1-x)e^x$
$\quad f'(x)=0 \ \ より \ \ x=a-1$
$\quad 増減表$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& \cdots & a-1 & \cdots & a\\ \hline f'(x)& + & 0 & - \\ \hline f(x)& \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$\quad f(0)=a,\qquad x \longrightarrow - \infty \ \ のとき \quad f(x) \longrightarrow 0$
(ii)$\ \ x \geqq a \ \ のとき$
$\quad f(x)=(x-a)e^x$
$\quad f'(x)=e^x+(x-a)e^x=(x+1-a)e^x > 0$
$\quad f''(x)=e^x+(x+1-a)e^x=(x+2-a)e^x > 0$
$\quad よって \ \ f(x)\ は下に凸で単調増加$
$右図は \ a=2\ の場合のグラフであるが、C\ と \ D\ の共有点は \ 5\ 個ある。$
$C\ と \ D\ の共有点が \ 3\ 個であるのは \ \ \ 0 \leqq x \leqq a \ \ で \ \ f(x) \leqq g(x)\ \ のときであるが、$
$x=a-1 \ で \ f(x)\ は極大値をとるから \ \ f(a-1) \leqq g(a-1) \ \ であればよい。$
$e^{a-1} \leqq =|2a-1|e^{1-a}$
$ a \geqq 1 \ \ だから \ \ 2a-1 > 0 $
$e^{a-1} \leqq =(2a-1)e^{1-a}$
$2a-1 \geqq e^{2(a-1)} \hspace{5em}①$
$また、h(x)=e^{2(x-1)}-(2x-1) \ \ について$
$h'(x)=2e^{2(x-1)}-2=2(e^{2(x-1)}-1)$
$x \geqq 1 \ \ のとき \ \ h'(x) > 0\ \ だから $
$h(x) \geqq h(1)=1-1=0 $
$\therefore \ \ e^{2(x-1)} \geqq 2x-1$
$x=a \geqq 1 \ \ とおくと \ \ e^{2(a-1)} \geqq 2a-1 \hspace{5em}②$
$このとき \ f(x)\ は \ x=0\ で極大値 \ \ f(0)=1\ をとるから$
$f(x)=|1-x|e^x,\ \ g(x)=|1+x|e^{-x} \ \ のグラフは$
$右図のとおりで確かに共有点は \ 3\ 個である。$
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