岡山大学(理系) 2026年　問題3


$i\ は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha , \ \ \beta \ \ を実数とする。\quad (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta)=\cos (\alpha + \beta)+i\sin (\alpha + \beta)\ \ を示せ。$
$(2)\ \ \theta \ を実数とする。正の整数 \ n\ に対して、(\cos \theta + i\sin \theta)^n=\cos (n\theta) +i\sin ((n\theta) \ \ を示せ。$
$(3)\ \ 以下の条件 \ \ (a),\ \ (b)\ \ をともに満たす複素数 \ z\ をすべて求めよ。$
$\quad (a)\ \ z\ の虚部は正で \ \ |z|=1\ \ である。$
$\quad (b)\ \ z^5 + z \ \ は実数である。$

(1)


\begin{eqnarray*} & &(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta)\\ \\ &=&(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i(\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta )\\ \\ &=&\cos (\alpha + \beta)+i\sin (\alpha + \beta)$
\end{eqnarray*}

(2)


$(\cos \theta + i\sin \theta)^n=\cos (n\theta) +i\sin ((n\theta) \ \ が成りたつことを数学的帰納法で示す。$

(i)$\ \ n=1 \ \ のときは明らかに成りたつ$

(ii)$\ \ n=k \ \ のとき成りたつとすると$

$\quad (\cos \theta + i\sin \theta)^k=\cos (k\theta) +i\sin ((k\theta)$

$\quad このとき$

\begin{eqnarray*} \quad & &(\cos \theta + i\sin \theta)^{k+1}\\ \\ &=&(\cos \theta + i\sin \theta)^k (\cos \theta + i\sin \theta) \\ \\ &=&\big\{\cos (k\theta) +i\sin ((k\theta)\big\}(\cos \theta + i\sin \theta) \\ \\ &=&(\cos (k\theta) \cos \theta - \sin (k\theta) \sin \theta) + i(\cos (k\theta) \sin \theta + \sin (k\theta) \cos \theta )\\ \\ &=&\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta \\ \end{eqnarray*} $よって \ \ n=k+1 \ \ のときも成りたつ$

(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \quad (\cos \theta + i\sin \theta)^n=\cos (n\theta) +i\sin ((n\theta) \ \ が成りたつ。$


(3)


$(a) より\ \ |z|=1\ \ だから \quad z=\cos \theta +i\sin \theta \ \ とおける。$

$z\ の虚部は正だから \ \ \sin \theta > 0$

\begin{eqnarray*} & &z^5+z\\ \\ &=&(\cos \theta +i\sin \theta)^5+(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \\ &=&(\cos 5\theta +i\sin 5\theta)+(\cos \theta +i\sin \theta)\\ \\ &=&(\cos 5\theta +\cos \theta)+i(\sin 5\theta +\sin \theta)\\ \end{eqnarray*}
$(b) よりこれは実数だから$

$\sin 5\theta +\sin \theta =0 \hspace{5em}(A)$

$2\sin \dfrac{5\theta + \theta}{2} \cos \dfrac{5\theta -\theta}{2}=0$

$\sin 3\theta \cos 2\theta =0$

(i)$\ \ \sin 3\theta=0 \ \ より \quad 3\sin \theta -4\sin^3 \theta=0$

$\quad \sin \theta(3-4\sin^2 \theta)=0$

$\quad \sin \theta > 0 \ \ だから \quad 3-4\sin^2 \theta=0$

$\quad \sin ^2\theta =\dfrac{3}{4} \quad \therefore \ \ \sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\quad このとき \quad \cos \theta=\pm \sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\pm \dfrac{1}{2}$

$\quad よって \quad z=\pm \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

(ii)$\ \ \cos 2\theta=0 \ \ より \quad 1-2\sin^2 \theta=0$

$\quad \sin^2 \theta=\dfrac{1}{2} \quad \therefore \ \ \sin \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\quad このとき \quad \cos \theta=\pm \sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\quad よって \quad z=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i$


$以上より \quad z=\pm \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i, \quad z=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i$


$(別解)$

$(A) \ より \quad \sin 5\theta +\sin \theta =0 $

$\sin 5\theta =\sin (-\theta)$

$k \ は整数として$

(i)$\ \ 5\theta=-\theta +2k\pi \ \ のとき$

$\quad \theta=\dfrac{k}{3}\pi$

$\quad k=1 \ \ のとき \quad \theta=\dfrac{\pi}{3} \quad z=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi}{3}= \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

$\quad k=2 \ \ のとき \quad \theta=\dfrac{2}{3}\pi \quad z=\cos \dfrac{2}{3}\pi+i\sin \dfrac{2}{3}\pi= -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

$\quad k=3,\ 4,\ 5,\ 6\ \ のときは それぞれ \quad \theta=\pi,\ \ \dfrac{4}{3}\pi,\ \ \dfrac{5}{3}\pi,\ \ 2\pi \ \ となって \ \ \sin \theta > 0\ \ を満たさない$

$\quad k=7 \ \ \ のときは \quad \theta=\dfrac{7}{3}\pi=2\pi + \dfrac{\pi}{3} \ \ だから \ k=1\ に同じ,\ \ k=8,\ \cdots \ \ も同じである。$

(ii)$\ \ 5\theta=\theta +(2k+1)\pi \ \ のとき$

$\quad \theta=\dfrac{2k+1}{4}\pi$

$\quad k=0\ \ のとき \quad \theta=\dfrac{\pi}{4} \quad z=\cos \dfrac{\pi}{4}+i\sin \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{!}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i$

$\quad k=1\ \ のとき \quad \theta=\dfrac{3}{4}\pi \quad z=\cos \dfrac{3}{4}\pi+i\sin \dfrac{3}{4}\pi= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i$

$\quad k=2,\ 3,\ \cdots \ \ については$(i) $に同じ$


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