岡山大学(理系) 2026年 問題2
$座標平面上を繰り返し運動する点 \ P\ について考える。点 \ P\ は、はじめに原点 \ O(0,\ 0)\ にあるとする。$
$点 \ P\ は \ 1\ 回の運動で以下の確率に従って「移動する」または「移動しない」ものとする。$
$点 \ P\ が座標 (x,\ y)\ の位置にあるとき、$
$(a)\ \ 移動しない確率は \ \ \dfrac{4}{9}$
$(b)\ \ (x+1, \ y),\ \ (x-1,\ y),\ \ (x,\ y+1),\ \ (x,\ y-1)\ に移動する確率はそれぞれ \ \ \dfrac{1}{9}$
$(c)\ \ (x+1,\ y+1),\ \ (x-1,\ \ y+1),\ \ (x+1,\ y-1),\ \ (x-1,\ y-1)\ に移動する確率はそれぞれ \ \ \dfrac{1}{36}$
$この運動を繰り返す。正の整数 \ n\ に対して \ n\ 回運動後の点 \ Ｐ\ の座標を \ (x_n,\ y_n) \ とおく。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ |x_1|=1 \ \ かつ \ \ |y_1|=1\ \ となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ |x_n|=n \ \ かつ \ \ |y_n|=n \ \ となる確率を求めよ。$
$(3)\ \ x_n=n \ \ となる確率を求めよ。$
$(4)\ \ |x_n|=n \ \ または \ \ |y_n|=n\ \ となる確率を求めよ。$
(1)
$1回運動後の点Pの座標が \ \ (1,\ 1),\ \ (-1,\ 1),\ \ (1,\ -1),\ \ (-1,\ -1)\ \ のいずれかで$
$これらの確率はそれぞれ \ \ \dfrac{1}{36}\ \ で、互いに排反事象であるから求める確率は$
$P=\dfrac{1}{36} \times 4=\dfrac{1}{9}$
(2)
$|x_n|=n \ \ かつ \ \ |y_n|=n \ \ は$
$n\ 回運動後の点 \ P\ の座標が \ \ (n,\ n),\ \ (-n,\ n),\ \ (n,\ -n),\ \ (-n,\ -n)\ \ のいずれかで$
$これらの確率はそれぞれ \ \ \big(\dfrac{1}{36}\big)^n \ \ で、互いに排反事象であるから求める確率は$
$P=\big(\dfrac{1}{36}\big)^n \times 4=4\big(\dfrac{1}{36}\big)^n$
(3)
$点 \ P\ の \ x\ 座標が \ \ x_n=n \ \ であるのは$
$1\ 回ごとの運動で、x\ 座標が \ +1\ される \ 3\ 種類の移動であるからこれらを$
$R:(x+1,\ y),\ \ S:(x+1,\ y+1),\ \ T:(x+1,\ y-1)\ \ とする。$
$S\ と \ T\ の確率は等しいので、T\ を \ S\ に置き換えることにする。$
$T\ の確率分が \ S\ に加わるからこの確率は \ \ \dfrac{1}{18}\ \ となる。$
$例えば、2\ 回の運動 \ (S,\ T)\ は \ (S,\ S)\ に置き換わるが、他に \ (T,\ S),\ \ (T,\ T),\ \ (S,\ S)\ も \ (S,\ S)\ に置き換わる。$
$したがって \ \ (S,\ S)\ に置き換わる確率は \quad \big(\dfrac{1}{36}\big)^2 \times 4=\big(\dfrac{1}{36} \times 2\big)=\big(\dfrac{1}{18}\big)^2$
$となって、変換すると \ S\ の起こる確率は \ \ \dfrac{1}{18}\ \ となる。$
$このことに注意して \ \ x_n=n \ \ となる確率 \ P\ は$
\[P=\sum_{k=0}^n {}_nC_k \big(\dfrac{1}{9}\big)^k \big(\dfrac{1}{18}\big)^{n-k}=\big(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{18} \big)^n =\big(\dfrac{1}{6}\big)^n \]
(4)
$|x_n|=n ,\ \ |y_n|=n\ \ となる事象をそれぞれ \ A,\ B\ とおき、それらの確率を\ P(A),\ P(B)\ とすると$
$対称性から$
$x_n=-n \ \ となる確率は \ x_n=n \ となる確率に等しいので \quad P(A)=2 \times \big(\dfrac{1}{6}\big)^n$
$|x_n|=n \ \ となる確率と\ \ |y_n|=n\ \ となる確率は等しい$
$|x_n|=n \ \ または \ \ |y_n|=n\ \ となる事象は \quad A \cup B \ \ だからその確率は$
\begin{eqnarray*} P(A \cup B) &=&P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\ \\ &=&2P(A)-P(A \cap B)\\ \\ &=&2 \times \big(2 \times \dfrac{1}{6} \big)^n - 4\big(\dfrac{1}{36}\big)^n\\ \\ &=&4\big\{\big(\dfrac{1}{6} \big)^n - \big(\dfrac{1}{36}\big)^n \big\} \\ \end{eqnarray*}
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