岡山大学(理系) 2026年　問題1


$t\ を \ 0 < t < 1 \ を満たす実数とする。三角形 \ OAB\ において、辺 \ OA\ の中点を \ C,辺 \ OB\ を \ t:(1-t)\ に$
$内分する点を \ D\ とし、線分 BC\ と線分 \ AD\ の交点を \ P\ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b}\ \ とする。\vec{OP} を \ \vec{a} \ と \ \vec{b} \ と \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ |\vec{OA}|=1,\ |\vec{OB}|=2,\ \vec{OA} \cdot \vec{OB}=\dfrac{1}{2} \ とする。|\vec{OP}| \leqq 1 \ \ を満たす \ t\ の値の範囲を求めよ。$


(1)

　

$AP:PD=s:(1-s) \ \ とおくと$

$\vec{OD}=t\vec{OB} \ \ だから$

$\vec{OP}=(1-s)\vec{OA}+s\vec{OD}=(1-s)\vec{a}+st\vec{b}$

$BP:PC=u:(1-u) \ \ とおくと$

$\vec{OC}=\dfrac{1}{2}\vec{OA} \ \ だから$

$\vec{OP}=(1-u)\vec{OB}+u\vec{OC}=(1-u)\vec{b}+\dfrac{u}{2}\vec{a}$

$よって$

$(1-s)\vec{a}+st\vec{b}=(1-u)\vec{b}+\dfrac{u}{2}\vec{a}$

$\vec{a}\ と \ \vec{b}\ はともに \ \vec{0}\ でなく、互いに平行でもない(一次独立といいます)から$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-s=\dfrac{u}{2} \hspace{5em}①\\ st=1-u \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$①より \quad u=2(1-s) \quad これを②に代入して$

$st=1-2(1-s)$

$(2-t)s=1$

$0 < t < 1 \ \ だから \quad s=\dfrac{1}{2-t}$

$よって \quad \vec{OP}=(1-\dfrac{1}{2-t})\vec{a}+\dfrac{t}{2-t}\vec{b}=\dfrac{1-t}{2-t}\vec{a}+ \dfrac{t}{2-t}\vec{b}$


(2)


$|\vec{a}|=1,\ \ |\vec{b}|=2,\ \ \vec{a} \cdot \vec{b}=\dfrac{1}{2}$

$\vec{OP}=\dfrac{1}{2-t}\big((1-t)\vec{a}+ t\vec{b}\big)\ \ より$

\begin{eqnarray*} |\vec{OP}|^2 &=&\dfrac{1}{(2-t)^2}\big|(1-t)\vec{a}+ t\vec{b}\big|^2\\ \\ &=&\dfrac{1}{(2-t)^2}\big\{(1-t)^2|\vec{a}|^2+ t^2|\vec{b}|^2+2t(1-t)\vec{a} \cdot \vec{b} \big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{(2-t)^2}\big\{(1-t)^2+ 4t^2 + t(1-t) \big\}\\ \\ &=&\dfrac{4t^2-t+1}{(2-t)^2}\\ \end{eqnarray*}
$|\vec{OP}| \leqq 1 \ \ より \quad \dfrac{4t^2-t+1}{(2-t)^2} \leqq 1$

$4t^2-t+1 \leqq (2-t)^2$

$t^2+t-1 \leqq 0$

$これを満たす \ t\ の範囲は \quad \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \leqq t \leqq \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$0 < t < 1 , \ \ \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} < 1 \ \ に注意して$

$0 < t \leqq \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$


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