岡山大学(理系) 2025年　問題3


$xy\ 平面上に点O(0,\ 0),\ A(4,\ 0)\ と、円 \ C: \ x^2+y^2=4 \ \ 上を動く点P(a,\ b)\ があるとする。各点 \ P\ に対して、$
$線分 \ AP\ の垂直二等分線を \ \ell_p \ とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 直線 \ \ell_p \ \ の方程式を求めよ。$
$(2)\ \ 直線 \ OP \ と \ \ell_p \ \ が平行であるとき、P\ の座標を求めよ。$
$(3)\ \ 直線 \ OP\ と \ \ell_p \ \ が交点をもつとき、交点 \ Q\ の軌跡の方程式を求め、さらにその軌跡を図示せよ。$


(1)

　

$\ell_p \ が線分 \ AP\ の垂直二等分線である条件は$

$\ell_p \ 上の任意の点をQ(x,\ y)\ \ とすると \quad QP=QA \quad だから$

$(x-a)^2+(y-b)^2=(x-4)^2+y^2$

$-2ax-2by+a^2+b^2=-8x+16$

$点P(a,\ b)\ は x^2+y^2=4 \ \ 上を動く点だから \quad a^2+b^2=4$

$よって \quad -2ax-2by+4=-8x+16$

$\ell_p \ :\ (a-4)x+by=-6$


(2)

　

(i)$\ \ P(\pm 2,\ 0)\ \ のとき$

$\quad OP \ :\ y=0,\quad \ell_p \ :\ x=3,\ \ x=1 \quad だから平行でない$

(ii)$\ \ P(0,\pm 2)\ \ のとき$

$\quad OP \ :\ x=0 ,\quad \ell_p \ :\ -4x \pm 2y=-6 \quad だから平行でない$

$よって \quad OP \ と \ \ell_p \ \ が平行になるときは \quad a \ne 0,\quad b \ne 0$

$このとき \quad OP\ と \ \ell_p \ の傾きは等しいから$

$\dfrac{b}{a}=-\dfrac{a-4}{b}$

$b^2=-a^2+4a$

$a^2+b^2=4 \quad だから \quad 4a=4 \qquad \therefore \ \ a=1$

$このとき \quad b^2=4-1^2=3 \qquad b=\pm 3$

$よって \quad P(1,\ \sqrt{3}), \quad P'(1,\ -\sqrt{3})$


(3)


$交点Q(x,\ y)\ は次の連立方程式の解だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \ell_p \ : \ \ (a-4)x+by=-6 \hspace{5em}①\\ OP:\ \ y=\dfrac{b}{a}x \hspace{10em}②\\ \end{array} \right. \]
$②を①に代入して$

$(a-4)x+\dfrac{b^2}{a}x=-6$

$(a^2+b^2-4a)x=-6a$

$(4-4a)x=-6a$

$a(2x-3)=2x$

$x=\dfrac{3}{2} \ \ とすると \quad 左辺=0,\ \ 右辺=3 \ \ だから不合理 \ \ よって \quad 2x-3 \ne 0$

$a=\dfrac{2x}{2x-3}$

$これを②に代入して$

$b=\dfrac{ay}{x}=\dfrac{2x}{2x-3} \times \dfrac{y}{x}=\dfrac{2y}{2x-3}$

$a^2+b^2=4 \quad に代入して$

　

$\big(\dfrac{2x}{2x-3}\big)^2+\big(\dfrac{2y}{2x-3}\big)^2=4$

$x^2+y^2=(2x-3)^2$

$3x^2-12x-y^2=-9$

$3(x-2)^2-y^2=3$

$(x-2)^2-\dfrac{y^2}{3}=1$

$これが、交点Q\ の軌跡の方程式で、双曲線を表す。$

$右図の緑色の曲線がこの軌跡を図示したものである。$


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