岡山大学(理系) 2025年　問題1


$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 方程式 \ \ 3x+11y=1 \ \ の整数解の \ 1\ つを求めよ。$
$(2)\ \ 方程式 \ \ 3x+11y=1000 \ \ の整数解をすべて求めよ。$
$(3)\ \ 自然数 \ x,\ y\ が(2)の方程式を満たすとする。|x-y|\ \ の最大値と、そのときの \ x,\ y\ の値を求めよ。$


(1)


$3 \times 4+11 \times (-1)=1 \quad だから \quad x=4 ,\ \ y=-1 \ \ が整数解の \ 1\ つ$


(2)


$3x+11y=1000 \hspace{10em} ①$

$3 \times 4+11 \times (-1)=1 \quad の両辺に \ \ 1000\ をかけて$

$3 \times 4000 +11 \times (-1000)=1000 \hspace{5em} ②$

$①-②より$

$3(x-4000)+11(y+1000)=0$

$3(x-4000)=-11(y+1000)$

$3\ と \ 11\ は互いに素だから \ k\ を整数として$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x-4000=11k \\ y+1000=-3k\\ \end{array} \right. \]
$よって \quad ①のすべての整数解は \quad x=4000+11k,\ \ y=-1000-3k\ \ (k\ は任意の整数)$


(3)

　

$(2)より \quad x=4000+11k,\ \ y=-1000-3k\ \ (k\ は整数)\ \ だから$

$z=|x-y|=|(4000+11k)-(-1000-3k)|=|5000+14k|$

$x \geqq 1 \quad より \quad 4000+11k \geqq 1 \qquad k \geqq -\dfrac{3999}{11}=-363.5 $

$y \geqq 1 \quad より \quad -1000-3k \geqq 1 \qquad k \leqq -\dfrac{1001}{3}=-333.6 $

$よって \quad -363 \leqq k \leqq -334$

$右図は \ \ z=|5000+14k| \ \ (-363 \leqq k \leqq -334) \ \ のグラフで$

$k=-334 \ \ のとき最大値 \ \ z=5000+14 \times (-334)=324 \ \ をとる$

$このとき \quad x=4000+11 \times (-334)=326,\quad y=-1000 -3 \times (-334)=2$


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