岡山大学(理系) 2024年 問題1
$m, n\ を正の整数とする。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ x^{3m}-1 \ \ は \ \ x^3-1 \ \ で割り切れることを示せ。$
$(2)\ \ x^n-1 \ \ を \ \ x^2+x+1 \ \ で割った余りを求めよ。$
$(3)\ \ x^{2024}-1 \ \ を \ \ x^2-x+1 \ \ で割った余りを求めよ。$
(1)
$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+ \cdots + a+1) \ \ と因数分解できることをつかって$
\begin{eqnarray*} & &x^{3m}-1\\ \\ &=&(x^3)^m-1\\ \\ &=&(x^3-1)(x^{3(m-1)}+x^{3(m-2)} + \cdots + x^3 +1)\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad x^{3m}-1 \ \ は \ \ x^3-1 \ \ で割り切れる。$
(2)
$m\ を正の整数として$
(i)$\ \ n=3m \quad のとき$
$\quad (1)より\ \ x^{3m}-1 \ \ は \ \ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \ \ で割り切れるから$
$\quad x^n-1 \ \ を \ \ x^2+x+1 \ \ で割った余りは \quad 0$
$x^{3m}-1=(x-1)(x^2+x+1) P(x) \quad とおくと$
(ii)$\ \ n=3m+1 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} \quad x^{3m+1}-1 &=&x \cdot x^{3m}-1\\ \\ &=&x\{(x-1)(x^2+x+1)P(x)+1\}-1\\ \\ &=&(x^2+x+1) \cdot x(x-1)P(x)+ x -1\\ \end{eqnarray*} $\quad x^n-1 \ \ を \ \ x^2+x+1 \ \ で割った余りは \quad x-1$
(iii)$\ \ n=3m+2 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} \quad x^{3m+2}-1 &=&x^2(x^{3m})-1\\ \\ &=&x^2\{(x-1)(x^2+x+1)P(x)+1\}-1\\ \\ &=&(x^2+x+1) \{x^2(x-1)P(x)\}+ x^2 -1\\ \\ &=&(x^2+x+1)\{x^2(x-1)P(x)+ 1\} -x -2\\ \\ \end{eqnarray*} $\quad x^n-1 \ \ を \ \ x^2+x+1 \ \ で割った余りは \quad -x-2$
$以上まとめると$
\[ x^n-1 \ \ を \ \ x^2+x+1 \ \ で割った余りは \qquad \left\{ \begin{array}{l} 0 \hspace{5.5em}n=3m \ \ のとき\\ x-1 \hspace{3.5em}n=3m+1 \ \ のとき\\ -x-2 \hspace{3em}n=3m+2 \ \ のとき\\ \end{array} \right. \]
(3)
$(2)で \quad x \longrightarrow -x \quad と置き換えると$
\[ (-x)^n-1 \ \ を \ \ x^2-x+1 \ \ で割った余りは \qquad \left\{ \begin{array}{l} 0 \hspace{5em}n=3m \ \ のとき\\ -x-1 \hspace{2.5em}n=3m+1 \ \ のとき\\ x-2 \hspace{3.5em}n=3m+2 \ \ のとき\\ \end{array} \right. \]
$2024=3 \times 674+2 \quad だから$
$x^{2024}-1=(-x)^{2024}-1 \ \ を \ \ x^2-x+1 \ \ で割った余りは \quad x-2$
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